Théorème d'Al-Kashi et orthogonalité de deux médianes

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=4$, $AC=6$ et l'angle $\widehat{BAC}=120^{\circ }$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

2. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer la longueur exacte du côté $BC$.

3. Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$. En décomposant $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}$, puis déterminer la valeur exacte de la longueur $CM$.