On considère un triangle A B C tel que A B = 7 , A C = 5 et l'angle B A C = 6 0 ∘ . 1. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer la longueur exacte du côté B C . 2. Calculer le produit scalaire A B ⋅ A C . 3. Soit I le milieu du segment [ B C ] . En écrivant A I = 2 1 ( A B + A C ) , montrer que A I 2 = 4 1 ( A B 2 + A C 2 + 2 A B ⋅ A C ) , puis en déduire la longueur exacte de la médiane A I .

Théorème d'Al-Kashi et longueur d'une médiane

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère un triangle $A B C$ tel que $A B = 7$ , $A C = 5$ et l'angle $B A C = 6 0^{\circ}$ .

1. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer la longueur exacte du côté $B C$ .

2. Calculer le produit scalaire $A B \cdot A C$ .

3. Soit $I$ le milieu du segment $[B C]$ . En écrivant $A I = \frac{1}{2} (A B + A C)$ , montrer que $A I^{2} = \frac{1}{4} (A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C)$ , puis en déduire la longueur exacte de la médiane $A I$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, applique directement le théorème d'Al-Kashi $BC^2 = AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$ avec $\cos(60^\circ)=\dfrac12$.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise la formule $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$.

3 Indice 3

Pour la question 3, développe le produit scalaire $\vec{AI}\cdot\vec{AI}$ en utilisant la bilinéarité, puis remplace $AB^2$, $AC^2$ et $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ par les valeurs trouvées précédemment.

Bloqué sur cet exercice ?

Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Léo

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Théorème de la médiane Retour au chapitre Produit scalaire par coordonnées, norme et vecteur orthogonal

Théorème d'Al-Kashi et longueur d'une médiane

Énoncé

Indices

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Théorème d'Al-Kashi et longueur d'une médiane

Énoncé

Indices

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯