On considère le cercle ( C ) : x 2 + y 2 + 8 x − 4 y + 10 = 0 et la droite ( D ) : x − 2 y + 13 = 0 . Montrer que ( C ) est un cercle et déterminer son centre K et son rayon r . Montrer que ( D ) coupe ( C ) en deux points E et F , puis déterminer leurs coordonnées. Soit ( D ′ ) : 3 x − y + 4 = 0 . Montrer que ( D ′ ) est tangente à ( C ) et déterminer le point de tangence H .

Intersection et tangence d'une droite et d'un cercle

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère le cercle $(C) : x^{2} + y^{2} + 8 x - 4 y + 10 = 0$ et la droite $(D) : x - 2 y + 13 = 0$ .

Montrer que $(C)$ est un cercle et déterminer son centre $K$ et son rayon $r$ .
Montrer que $(D)$ coupe $(C)$ en deux points $E$ et $F$ , puis déterminer leurs coordonnées.
Soit $(D^{'}) : 3 x - y + 4 = 0$ . Montrer que $(D^{'})$ est tangente à $(C)$ et déterminer le point de tangence $H$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, mets l'equation du cercle sous la forme generale $x^2+y^2+ax+by+c=0$, identifie a, b, c, puis utilise les formules donnant le centre $\\left(-\\dfrac{a}{2},-\\dfrac{b}{2}\\right)$ et le rayon a partir de $a^2+b^2-4c$.

2 Indice 2

Pour la question 2, compare la distance du centre K a la droite (D) avec le rayon r pour justifier l'intersection, puis substitue l'expression de x tiree de l'equation de (D) dans l'equation du cercle pour obtenir une equation du second degre en y.

3 Indice 3

Pour la question 3, calcule de la meme maniere la distance du centre a la droite (D'), compare-la au rayon pour montrer la tangence, puis substitue dans l'equation du cercle pour trouver le point de contact unique (le discriminant de l'equation obtenue doit etre nul).

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