On considère les points A ( 2 ; 0 ) et C ( 2 ; 2 ) , et la droite ( D ) d'équation ( 1 − m ) x + y − 2 = 0 avec m  = 1 . Déterminer, en fonction de m , les distances d = d ( A ; ( D )) et d ′ = d ( C ; ( D )) . Déterminer la (ou les) valeur(s) de m telles que d ′ = 2 d .

Distance d'un point à une droite paramétrée

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère les points $A (2; 0)$ et $C (2; 2)$ , et la droite $(D)$ d'équation $(1 - m) x + y - 2 = 0$ avec $m \neq = 1$ .

Déterminer, en fonction de $m$ , les distances $d = d (A; (D))$ et $d^{'} = d (C; (D))$ .
Déterminer la (ou les) valeur(s) de $m$ telles que $d^{'} = 2 d$ .

Indices

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1 Indice 1

Applique la formule de distance d'un point à une droite $ax+by+c=0$ : $d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, avec ici $a=1-m$, $b=1$, $c=-2$.

2 Indice 2

Remarque que $d$ et $d'$ ont le même dénominateur $\sqrt{1+(1-m)^2}$, ce qui permet de simplifier l'équation $d'=2d$ en une égalité de valeurs absolues.

3 Indice 3

Pour résoudre $|1-m|=2|m|$, élève les deux membres au carré afin d'obtenir une équation du second degré en $m$, puis calcule le discriminant.

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