Étude d'une fonction avec paramètre et inégalité exponentielle

Exercice 6 — Fonction paramétrique et inégalités

Pour tout réel m, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f_m(x)=e^x-mx-1$

1. Partie A — Étude selon m

   1. Calculer $f_m^{\prime }(x)$ et montrer que $f_m$ admet un minimum global en $x_m=\ln (m)$ lorsque $m>0$.
   2. En déduire que, pour $m>0$ : $f_m(x)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ si et seulement si $f_m(\ln m)\ge 0$. Calculer $f_m(\ln m)$ et conclure.

2. Partie B — Inégalité fondamentale

   En utilisant le résultat de A, démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

   $e^x\ge x+1$

   avec égalité si et seulement si $x=0$.

3. Partie C — Application

   1. En appliquant l'inégalité de la Partie B à $x=\frac{1}{n}$ (pour $n\ge 1$ entier), montrer que : $e^{1/n}\ge 1+\frac{1}{n}$.
   2. En déduire que pour tout entier $n\ge 1$ : ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le e$.
   3. Montrer de même, en appliquant l'inégalité à $x=-\frac{1}{n+1}$, que : ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\ge e\cdot e^{-\frac{1}{(n+1)\cdot n}}$... (On admet cette étape et on conclut que la suite $v_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ converge vers $e$.)