Étude de la fonction $f(x) = xe^x$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{e}^x$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=(1+x)e^x$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser l'extremum.

4. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.