Problème BAC — similitude directe et triangle équilatéral

Dans le plan complexe, on considère les points A(affixe 0), B(affixe 1) et C(affixe $z_C$).

Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C, avec $z_C=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$.

1. Déterminer les coefficients a et b de $f(z)=az+b$ à partir des conditions $f(0)=1$ et $f(1)=z_C$.
2. Calculer $|a|$ et $\arg (a)$. Quel est le rapport et l'angle de cette similitude ?
3. Calculer $|AB|$, $|BC|$ et $|CA|$. Que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
4. Trouver le centre $\Omega$ de la similitude (point fixe).