Matrices carrées et puissances : suite récurrente

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Suite $U_{n + 1} = A U_{n}$ avec $A = (2013)$ , $U_{0} = (11)$ . Calculer $U_{1}$ , $U_{2}$ , $U_{3}$ , $A^{2}$ , $A^{3}$ , puis $U_{n}$ en admettant $A^{n} = (2^{n} 0 3^{n} - 2^{n} 3^{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $U_1$, applique simplement le produit matrice-vecteur $A U_0$ en utilisant la definition du produit d'une matrice par un vecteur colonne.

2 Indice 2

Pour $U_2$ et $U_3$, repete l'operation en multipliant chaque fois par $A$ le vecteur obtenu a l'etape precedente ; tu peux aussi verifier en calculant $A^2$ et $A^3$ directement par produit matriciel.

3 Indice 3

Pour trouver $U_n$ en general, utilise la formule admise de $A^n$ et applique-la au vecteur $U_0=\\begin{pmatrix}1\\\\1\\end{pmatrix}$ ; observe si une factorisation simple apparait dans le resultat.

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