Matrice idempotente et décomposition spectrale

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $P = (1/2 1/2 1/2 1/2)$ . Vérifier $P^{2} = P$ , calculer $det (P)$ , étudier $Q = I_{2} - P$ et la décomposition $X = P X + QX$ .

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1 Indice 1

Pour verifier $P^2 = P$, effectue directement le produit matriciel de P par elle-meme.

2 Indice 2

Le determinant d'une matrice $2\times2$ se calcule avec la formule $ad - bc$ ; applique-la aux coefficients de P.

3 Indice 3

Pour etudier $Q = I_2 - P$, calcule $Q^2$ et les produits $PQ$ et $QP$ en utilisant la relation deja etablie $P^2 = P$.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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