Puissances d'une matrice et expression explicite de suites couplées

Deux grandeurs $u_n$ et $v_n$ évoluent d'étape en étape selon le système couplé :

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=2u_n+v_n\\ v_{n+1}=u_n+2v_n\end{array}\text{avec}{u}_0=1,v_0=0.$$

On pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$ et $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.

1. Justifier que $X_{n+1}=A{X}_n$, puis que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout entier $n⩾0$.

2. On admet qu'il existe une matrice $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, inversible, telle que $A=PD{P}^{-1}$ où $D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Vérifier l'égalité $AP=PD$.

3. Calculer $P^{-1}$, puis exprimer $A^n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n⩾0$.

4. En déduire les expressions explicites de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.