Soit X n + 1 = L X n avec L = ( 0 0 , 5 2 0 ) et X 0 = ( 10 5 ) . Interpréter les coefficients de L . Calculer X 1 et X 2 . Calculer les valeurs propres de L et interpréter.

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Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $X_{n + 1} = L X_{n}$ avec $L = (0 0, 5 20)$ et $X_{0} = (105)$ .

Interpréter les coefficients de $L$ .
Calculer $X_{1}$ et $X_{2}$ .
Calculer les valeurs propres de $L$ et interpréter.

Indices

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1 Indice 1

Observe la position de chaque coefficient dans la matrice $L$ et relie-le au role qu'il joue dans le passage d'une classe d'age a l'autre (naissance ou survie).

2 Indice 2

Pour calculer $X_1$, effectue le produit matriciel $L X_0$ terme par terme, puis recommence l'operation avec $X_1$ pour obtenir $X_2$.

3 Indice 3

Pour les valeurs propres, ecris le polynome caracteristique $\\det(L - \\lambda I) = 0$ et resous cette equation en $\\lambda$ ; interprete ensuite la valeur propre dont le module est le plus grand.

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