On pose M = ( 1 1 1 0 ) , F 0 = 0 , F 1 = 1 , F n + 2 = F n + 1 + F n . Calculer M 2 et M 3 . Conjecturer M n . Démontrer par récurrence que M n = ( F n + 1 F n F n F n − 1 ) . En déduire l'identité de Cassini : F n 2 − F n + 1 F n − 1 = ( − 1 ) n + 1 .

Suite de Fibonacci et identité de Cassini

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On pose $M = (1110)$ , $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

Calculer $M^{2}$ et $M^{3}$ . Conjecturer $M^{n}$ .
Démontrer par récurrence que $M^{n} = (F_{n + 1} F_{n} F_{n} F_{n - 1})$ .
En déduire l'identité de Cassini : $F_{n}^{2} - F_{n + 1} F_{n - 1} = (- 1)^{n + 1}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $M^2$, effectue simplement le produit matriciel $M \times M$ ; pour $M^3$, multiplie ensuite $M^2$ par M et observe la structure des coefficients obtenus en fonction des termes de Fibonacci.

2 Indice 2

Pour la recurrence, ecris $M^{n+1} = M^n \times M$ en utilisant l'hypothese de recurrence sur $M^n$, puis effectue le produit matriciel et compare avec la forme attendue au rang $n+1$ en utilisant la relation de Fibonacci.

3 Indice 3

Pour l'identite de Cassini, calcule le determinant de $M^n$ de deux facons differentes : une fois via $(\det M)^n$, une fois directement a partir de la matrice trouvee a la question 2.

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Suite de Fibonacci et identité de Cassini

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