Chaîne de Markov : voiture ou transports en commun ?

Chaque jour ouvré, un salarié se rend au travail soit en voiture (état $V$), soit en transports en commun (état $T$). On observe les comportements suivants d'un jour au suivant :

— s'il a pris la voiture un jour, il reprend la voiture le lendemain avec une probabilité de $0,8$ ;

— s'il a pris les transports un jour, il reprend les transports le lendemain avec une probabilité de $0,7$.

On modélise la situation par une chaîne de Markov à deux états $V$ et $T$ (dans cet ordre). On note $P_n=\left(\begin{array}{cc}{v}_n& t_n\end{array}\right)$ l'état probabiliste le jour $n$, où $v_n$ et $t_n$ sont les probabilités de prendre respectivement la voiture et les transports le jour $n$.

1. Donner la matrice de transition $M$ telle que $P_{n+1}=P_n\times M$.

2. Le jour $0$, le salarié prend la voiture : $P_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$. Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.

3. On cherche l'état stable $\Pi =\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$, c'est-à-dire l'état vérifiant $\Pi \times M=\Pi$ et $a+b=1$. Déterminer $a$ et $b$.

4. Vérifier que l'état $\Pi$ trouvé est bien invariant, et commenter l'évolution observée à la question 2 au regard de cet état stable.