Modèle météo : chaîne de Markov à deux états et état stable

Dans une région, on observe le temps jour après jour et on distingue deux états : Soleil (S) et Pluie (P). Les observations montrent que :

— si un jour est ensoleillé, le lendemain est ensoleillé avec probabilité $0,8$ et pluvieux avec probabilité $0,2$ ;

— si un jour est pluvieux, le lendemain est ensoleillé avec probabilité $0,4$ et pluvieux avec probabilité $0,6$.

On représente l'état du jour $n$ par un vecteur ligne $X_n=\left(\begin{array}{cc}{s}_n& p_n\end{array}\right)$, où $s_n$ et $p_n$ sont les probabilités d'avoir du soleil et de la pluie le jour $n$. On a $X_{n+1}=X_{n}T$, où $T$ est la matrice de transition (lignes et colonnes dans l'ordre $S,P$).

1. Écrire la matrice de transition $T$.

2. Le premier jour est ensoleillé : $X_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$. Calculer $X_1$ puis $X_2$.

3. On cherche un état stable $\pi =\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ vérifiant $\pi T=\pi$ et $a+b=1$. Déterminer $a$ et $b$.

4. Vérifier que cet état $\pi$ est bien invariant en calculant $\pi T$.