Chaîne de Markov à trois états : évolution et état stable

Une application de streaming classe ses abonnés selon trois forfaits : A (basique), B (standard) et C (premium). Chaque mois, un abonné peut changer de forfait selon les probabilités suivantes (les lignes correspondent au forfait actuel, les colonnes au forfait du mois suivant, dans l'ordre $A,B,C$) :

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0,6& 0,2& 0,2\\ 0,1& 0,7& 0,2\\ 0,2& 0,2& 0,6\end{array}\right)$$

On note $X_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_n& b_n& c_n\end{array}\right)$ le vecteur ligne des proportions d'abonnés dans chaque forfait au mois $n$, avec $X_{n+1}=X_{n}P$.

1. Vérifier que $P$ est une matrice stochastique.

2. Au mois $0$, tous les abonnés sont au forfait A : $X_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$. Calculer $X_1$ puis $X_2$.

3. On cherche l'état stable $\pi =\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)$ vérifiant $\pi P=\pi$ et $a+b+c=1$. Écrire le système associé et le résoudre.

4. Vérifier que l'état stable obtenu est bien invariant.