Temps d'attente X : f ( x ) = λ e − λ x pour x ≥ 0 . E ( X ) = 3 . Valeur de λ . Fonction de répartition F ( t ) . P ( 2 ≤ X ≤ 5 ) . e − 2/3 ≈ 0 , 513 , e − 5/3 ≈ 0 , 189 . Médiane.

Variable continue — Modélisation et fonction de répartition

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Temps d'attente $X$ : $f (x) = λ e^{- λ x}$ pour $x \geq 0$ . $E (X) = 3$ .

Valeur de $λ$ .
Fonction de répartition $F (t)$ .
$P (2 \leq X \leq 5)$ . $e^{- 2/3} \approx 0, 513$ , $e^{- 5/3} \approx 0, 189$ .
Médiane.

Indices

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1 Indice 1

Pour une loi exponentielle de parametre $\\lambda$, l'esperance vaut $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$. Utilise la valeur donnee de $E(X)$ pour trouver $\\lambda$.

2 Indice 2

La fonction de repartition d'une loi exponentielle s'obtient en integrant la densite entre $0$ et $t$ : $F(t) = \\int_0^t \\lambda e^{-\\lambda x}\\,dx$.

3 Indice 3

Pour $P(2\\le X\\le5)$, utilise $F(5)-F(2)$. Pour la mediane, resous l'equation $F(m)=0,5$ en utilisant le logarithme neperien.

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