On définit, pour n ∈ N , I n = 0 ∫ 1 x n e x d x . Calculer I 0 . Montrer que I n = e − n I n − 1 . En déduire I 1 et I 2 .

IPP et équation différentielle : unicité d'une intégrale

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On définit, pour $n \in N$ , $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{x} d x$ .

Calculer $I_{0}$ .
Montrer que $I_{n} = e - n I_{n - 1}$ .
En déduire $I_{1}$ et $I_{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $I_0$, il s'agit simplement d'une primitive usuelle de $e^x$ a evaluer entre les bornes $0$ et $1$.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise une integration par parties en derivant le facteur polynomial $x^n$ et en integrant $e^x$.

3 Indice 3

Une fois la relation de recurrence etablie, applique-la successivement pour $n=1$ puis $n=2$, en utilisant a chaque fois la valeur precedemment calculee.

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