Le taux de croissance instantané d'une population bactérienne (en millions/heure) est modélisé par : r ( t ) = 3 e t − e − t , t ∈ [ 0 ; 2 ] Calculer 0 ∫ 2 r ( t ) d t . Vérifier que r est positive sur [ 0 ; 2 ] . Calculer 0 ∫ l n 2 r ( t ) d t .

Intégrale impliquant $e^x$ — modélisation démographique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Le taux de croissance instantané d'une population bactérienne (en millions/heure) est modélisé par :

$r (t) = 3 e^{t} - e^{- t}, t \in [0; 2]$

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1 Indice 1

Pour l'integrale, cherche d'abord une primitive $R(t)$ de $r(t)=3e^t-e^{-t}$ en te rappelant que la primitive de $e^{-t}$ est $-e^{-t}$.

2 Indice 2

Utilise ensuite le theoreme fondamental de l'analyse en evaluant $R(2)-R(0)$ pour la premiere integrale.

3 Indice 3

Pour le signe de $r$, compare separement $3e^t$ et $e^{-t}$ sur l'intervalle $[0;2]$ pour montrer que le premier terme domine toujours le second.

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