1. Rappels sur le triangle rectangle
La trigonométrie au collège s'applique exclusivement aux triangles rectangles. Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est le plus grand côté du triangle. Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit.
Pour un angle aigu donné dans ce triangle, on distingue :
— le côté adjacent à : le côté de l'angle droit qui forme l'angle (autre que l'hypoténuse),
— le côté opposé à : le côté qui ne touche pas l'angle .
2. Définition du cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
Pour l'angle dans un triangle rectangle en A :
Le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre compris entre 0 et 1.
3. Définition du sinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
Pour l'angle dans un triangle rectangle en A :
Le sinus d'un angle aigu est également toujours compris entre 0 et 1.
4. Définition de la tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.
Pour l'angle dans un triangle rectangle en A :
La tangente d'un angle aigu peut être supérieure à 1 (contrairement au sinus et au cosinus).
5. Valeurs remarquables
Certaines valeurs de sinus, cosinus et tangente sont à connaître par cœur :
— Pour : ; ;
— Pour : ; ;
— Pour : ; ;
On remarque que et : ce n'est pas un hasard, ces angles sont complémentaires (ils somment à ).
6. Utilisation de la calculatrice
La calculatrice permet d'obtenir la valeur approchée du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle donné. Attention : la calculatrice doit impérativement être réglée en degrés (mode DEG ou D) et non en radians.
On peut également faire l'opération inverse : connaissant la valeur d'un rapport trigonométrique, retrouver l'angle grâce aux touches arccos (), arcsin () ou arctan ().
7. Calculer une longueur inconnue
Lorsqu'on connaît un angle aigu et une longueur dans un triangle rectangle, on peut calculer une longueur inconnue en utilisant les formules trigonométriques. On choisit la formule qui fait intervenir à la fois la longueur connue et la longueur cherchée, puis on résout l'équation obtenue.
Par exemple, si on connaît l'angle et l'hypoténuse , on peut calculer le côté adjacent ou le côté opposé .
8. Calculer un angle inconnu
Lorsqu'on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle, on peut retrouver la mesure d'un angle aigu en calculant le rapport trigonométrique correspondant, puis en appliquant la fonction réciproque à la calculatrice.
Par exemple, si , alors .
On peut ensuite retrouver le troisième angle du triangle en utilisant la somme des angles d'un triangle : , avec , donc .