1. Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations que les inconnues et doivent vérifier simultanément. On note un système entre accolades :
Résoudre un système, c'est trouver le couple qui vérifie les deux équations en même temps. Ce couple est appelé la solution du système.
2. Vérification d'une solution
Pour vérifier qu'un couple est solution d'un système, on substitue les valeurs dans chacune des deux équations et on vérifie que les deux égalités sont vraies.
Par exemple, pour vérifier si est solution de , on teste : ✓ et ✓. C'est bien une solution.
3. Méthode par substitution
La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis à substituer cette expression dans la seconde équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue, que l'on résout classiquement.
Cette méthode est particulièrement adaptée lorsqu'une équation permet d'isoler facilement ou (coefficient égal à ou ).
4. Méthode par combinaison (ou addition)
La méthode par combinaison linéaire (aussi appelée méthode par addition ou élimination) consiste à additionner les deux équations membre à membre, après les avoir éventuellement multipliées par des nombres appropriés, de façon à éliminer l'une des deux inconnues.
On choisit les multiplicateurs pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés (leur somme est nulle). On résout ensuite l'équation à une inconnue obtenue.
5. Interprétation graphique
Chaque équation du premier degré à deux inconnues représente une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection de ces deux droites.
- Si les deux droites sont sécantes (se croisent en un point), le système admet une unique solution.
- Si les deux droites sont parallèles (non confondues), le système n'a aucune solution.
- Si les deux droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.
6. Mise en équation de problèmes
Les systèmes d'équations permettent de résoudre des problèmes concrets. La démarche est la suivante :
- Identifier les deux inconnues et les nommer et .
- Traduire les conditions du problème par deux équations.
- Résoudre le système obtenu.
- Vérifier la cohérence de la solution dans le contexte du problème (valeur positive, entière, etc.).
- Rédiger la conclusion en répondant à la question posée.
7. Systèmes sans solution ou avec infinité de solutions
Lors de la résolution, on peut aboutir à des cas particuliers :
- Si l'on obtient une contradiction du type , le système n'a aucune solution (droites parallèles non confondues).
- Si l'on obtient une égalité toujours vraie du type , le système a une infinité de solutions (droites confondues).