1. Rappel : les inégalités et la droite numérique

Une inégalité est une relation de comparaison entre deux expressions mathématiques à l'aide des symboles $<$, $>$, $\le$ ou $\ge$. Sur la droite numérique, les nombres sont ordonnés : plus on va vers la droite, plus les nombres sont grands.

Par exemple : $-3<1,5$ ou $7\ge 4$.

2. Définition d'une inéquation

Une inéquation est une inégalité qui contient au moins une inconnue (souvent notée $x$). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie. L'ensemble de ces valeurs s'appelle l'ensemble des solutions.

Exemple : $2x+1>5$ est une inéquation d'inconnue $x$.

3. Représentation des solutions sur la droite numérique

Les solutions d'une inéquation forment un intervalle, que l'on représente sur une droite numérique :

— Un crochet fermé $[$ ou $]$ indique que la valeur limite est incluse (symboles $\le$ ou $\ge$).

— Un crochet ouvert ou une parenthèse indique que la valeur limite est exclue (symboles $<$ ou $>$), représentée par un cercle vide sur la droite.

Exemple : les solutions de $x>3$ se représentent par une demi-droite ouverte en $3$, orientée vers la droite.

4. Règles de transformation des inéquations

Pour résoudre une inéquation, on peut effectuer les opérations suivantes :

Règle 1 — Addition/Soustraction : On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres sans changer le sens de l'inégalité.

Si $a<b$ alors $a+c<b+c$ quel que soit $c$.

Règle 2 — Multiplication/Division par un nombre positif : On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre strictement positif sans changer le sens de l'inégalité.

Si $a<b$ et $c>0$ alors $a\times c<b\times c$.

Règle 3 — Multiplication/Division par un nombre négatif : Si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Si $a<b$ et $c<0$ alors $a\times c>b\times c$.

5. Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue

Une inéquation du premier degré est de la forme $ax+b>c$ (ou avec $<$, $\le$, $\ge$) où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels et $a\ne 0$.

On résout par équivalences successives, en isolant $x$, en appliquant les règles de transformation. On obtient une solution du type $x>k$, $x\ge k$, $x<k$ ou $x\le k$.

Exemple : Résoudre $3x-4\le 2x+1$.

$3x-2x\le 1+4$ donc $x\le 5$. Les solutions sont tous les réels inférieurs ou égaux à $5$.

6. Inéquations avec développement et réduction

Certaines inéquations nécessitent d'abord de développer et de réduire chaque membre avant d'appliquer les règles de transformation.

Il faut notamment développer les produits, supprimer les parenthèses, puis regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.

Exemple : $2(x+3)>3(x-1)$ devient $2x+6>3x-3$, puis $6+3>3x-2x$, soit $9>x$, c'est-à-dire $x<9$.

7. Vérification et interprétation des solutions

Il est conseillé de vérifier la solution en testant une valeur particulière dans l'inéquation de départ. Par exemple, si la solution est $x\le 5$, on peut tester $x=3$ (doit vérifier l'inéquation) et $x=7$ (ne doit pas vérifier l'inéquation).

On peut également exprimer les solutions sous forme d'intervalle : $x\le 5$ se note $x\in ]-\infty ;5]$ (notation rencontrée en fin de 3ème / lycée).