1. Rappels : développement et réduction

Avant de factoriser, il faut savoir développer une expression algébrique, c'est-à-dire transformer un produit en somme. On utilise la distributivité :

$$k(a+b)=ka+kb$$

On peut aussi développer un produit de deux sommes en appliquant la distributivité deux fois (double distributivité) :

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

2. Les identités remarquables

Trois identités remarquables sont au programme de la 3ème et doivent être connues dans les deux sens (développement et factorisation) :

Carré d'une somme : $$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Carré d'une différence : $$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Différence de deux carrés : $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Ces formules permettent de factoriser certaines expressions en reconnaissant la forme du résultat développé.

3. La factorisation : principe et méthodes

Factoriser une expression, c'est l'écrire comme un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement.

Méthode 1 — Facteur commun : on repère un facteur commun à tous les termes et on le met en évidence.

Exemple : $3x^2+6x=3x(x+2)$

Méthode 2 — Identités remarquables : on reconnaît dans l'expression la forme d'une identité remarquable développée, puis on écrit le produit correspondant.

Exemple : $x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

4. Les équations du second degré (forme factorisée)

Une équation produit nul est une équation de la forme $A\times B=0$. On utilise la propriété fondamentale :

$$A\times B=0⟺A=0\text{ ou }B=0$$

Pour résoudre une équation, on cherche à se ramener à cette forme en factorisant l'expression. On résout ensuite chaque équation simple séparément.

Exemple : $(2x-4)(x+3)=0\Rightarrow x=2$ ou $x=-3$

5. Résolution d'équations par factorisation

Pour résoudre une équation du type $a{x}^2+bx=0$, on factorise le membre gauche par $x$ :

$$a{x}^2+bx=0⟺x(ax+b)=0⟺x=0\text{ ou }x=-\frac{b}{a}$$

Pour résoudre $a^2-b^2=0$, on utilise la différence de deux carrés :

$$(a+b)(a-b)=0⟺a=-b\text{ ou }a=b$$

6. Signe d'un produit et applications

La factorisation est aussi utile pour étudier le signe d'une expression. On utilise la règle des signes d'un produit :

• $(+)\times (+)=(+)$
• $(-)\times (-)=(+)$
• $(+)\times (-)=(-)$

On peut ainsi résoudre des inéquations du type $A\times B\ge 0$ ou $A\times B\le 0$ en étudiant le signe de chaque facteur.

7. Équations avec fractions et mise au même dénominateur

Certaines équations font intervenir des fractions algébriques. On commence par déterminer les valeurs interdites (valeurs qui annulent le dénominateur), puis on multiplie les deux membres par le dénominateur commun pour se ramener à une équation sans fraction.

Exemple : $\frac{x+1}{x-2}=3$ avec $x\ne 2$ donne $x+1=3(x-2)$, puis on développe et on résout.

8. Vérification des solutions

Après avoir trouvé les solutions d'une équation, il est toujours conseillé de vérifier en substituant les valeurs trouvées dans l'équation de départ. Dans le cas d'une équation avec fraction, il faut aussi s'assurer que les solutions ne sont pas des valeurs interdites.