1. Rappels sur les statistiques descriptives
Les statistiques permettent de décrire et d'analyser une série de données. On distingue plusieurs indicateurs :
Indicateurs de position :
- La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total.
- La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
- Le mode (ou classe modale) est la valeur (ou la classe) ayant le plus grand effectif.
Indicateurs de dispersion :
- L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
- Les quartiles , (médiane) et partagent la série en quatre groupes de même effectif.
- L'écart interquartile est : il mesure la dispersion des données centrales.
2. Lecture et interprétation d'un diagramme en boîte (boîte à moustaches)
Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) est une représentation graphique qui résume une série statistique à l'aide de cinq valeurs :
- La valeur minimale et la valeur maximale (les moustaches)
- Le premier quartile , la médiane , le troisième quartile (la boîte)
La boîte contient 50 % des données centrales. Plus la boîte est large, plus la série est dispersée.
3. Notion de probabilité
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. L'ensemble de tous les résultats possibles est appelé univers et noté .
Un événement est un sous-ensemble de . La probabilité d'un événement , notée , est un nombre compris entre 0 et 1 :
- : l'événement est impossible.
- : l'événement est certain.
- : l'événement certain a une probabilité de 1.
4. Équiprobabilité et calcul de probabilités
Lorsque tous les résultats d'une expérience aléatoire sont également probables, on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité. Dans ce cas :
Par exemple, si on lance un dé équilibré à 6 faces, la probabilité d'obtenir un nombre pair est .
5. Événements contraires, réunion et intersection
Soit un événement dans un univers :
- L'événement contraire de , noté , regroupe tous les résultats de qui ne sont pas dans . On a : .
- L'intersection est l'événement « et se réalisent en même temps ».
- La réunion est l'événement « ou (ou les deux) se réalisent ».
- Deux événements sont dits incompatibles (ou disjoints) si , c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. Dans ce cas : .
6. Probabilités et fréquences — Loi des grands nombres
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique. C'est le principe de la loi des grands nombres.
On distingue ainsi :
- La probabilité théorique : calculée à partir des propriétés de l'expérience (modèle mathématique).
- La probabilité expérimentale (fréquence) : observée lors de la répétition réelle de l'expérience.
7. Tableaux et arbres de probabilités
Pour les expériences comportant plusieurs étapes, on peut utiliser :
- Un tableau à double entrée : utile lorsqu'il y a deux caractères ou deux lancers successifs.
- Un arbre de probabilités : chaque branche représente un résultat possible. Les probabilités sur les branches se multiplient le long d'un chemin (règle du produit), et les probabilités des chemins menant au même événement s'additionnent.
La somme des probabilités de toutes les branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
8. Variables aléatoires (initiation)
Une variable aléatoire associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire une valeur numérique. On peut dresser le tableau de distribution de en indiquant chaque valeur possible et la probabilité correspondante .
La somme de toutes les probabilités est toujours égale à 1 : .
L'espérance de (moyenne théorique) est :