1. Les solides usuels
En 3ème, on étudie les principaux solides de l'espace : le cube, le pavé droit (ou parallélépipède rectangle), le prisme droit, la pyramide, le cône de révolution, le cylindre de révolution et la sphère.
Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, reliés par des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases.
Une pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point appelé sommet. La hauteur est le segment perpendiculaire à la base issu du sommet.
2. Sections planes
Une section plane est la figure obtenue en coupant un solide par un plan. La nature de la section dépend du solide et de la position du plan.
Pour un cube ou un pavé droit, une section par un plan parallèle à une face donne un rectangle (ou un carré pour le cube).
Pour une pyramide, une section par un plan parallèle à la base donne un polygone semblable à la base. Si la base est un carré, la section est un carré ; si la base est un triangle, la section est un triangle semblable.
Pour un cylindre, une section par un plan parallèle à la base donne un disque de même rayon que la base.
Pour un cône, une section par un plan parallèle à la base donne un disque de rayon plus petit que la base.
3. Agrandissement et réduction de solides
Lorsqu'on effectue un agrandissement ou une réduction d'un solide par un rapport :
– Les longueurs sont multipliées par .
– Les aires (surfaces) sont multipliées par .
– Les volumes sont multipliés par .
Ces propriétés sont fondamentales et s'appliquent à tous les solides (cube, sphère, cône, pyramide, etc.).
4. Aires de solides
L'aire totale d'un solide est la somme des aires de toutes ses faces. On distingue l'aire latérale (faces latérales uniquement) et l'aire des bases.
– Cylindre de rayon et de hauteur : aire latérale , aire totale .
– Cône de rayon et de génératrice : aire latérale , aire totale .
– Sphère de rayon : aire .
5. Volumes de solides
Le volume mesure l'espace occupé par un solide. Les formules essentielles sont :
– Cube d'arête : .
– Pavé droit de dimensions , , : .
– Prisme droit de base et de hauteur : (où est l'aire de la base).
– Cylindre de rayon et de hauteur : .
– Pyramide de base et de hauteur : .
– Cône de rayon et de hauteur : .
– Sphère de rayon : .
6. Représentation en perspective cavalière
La perspective cavalière est un mode de représentation plane des solides de l'espace. Elle respecte les règles suivantes :
– Les arêtes parallèles dans l'espace sont représentées par des segments parallèles sur le dessin.
– Les arêtes cachées (non visibles) sont représentées en pointillés.
– Les arêtes parallèles à l'axe de fuite sont représentées avec un coefficient de réduction (souvent ) et un angle (souvent ).
Ce mode de représentation déforme les figures planes : un carré peut apparaître comme un losange, un cercle comme une ellipse.
7. Droites et plans dans l'espace
Dans l'espace, deux droites peuvent être :
– Coplanaires : elles appartiennent au même plan. Elles peuvent être parallèles, sécantes ou confondues.
– Non coplanaires (ou gauches) : elles n'appartiennent à aucun plan commun et ne se croisent pas.
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan passant par son pied.
Le théorème des trois perpendiculaires permet de démontrer qu'une droite est perpendiculaire à une autre dans l'espace, en utilisant les projections orthogonales.