1. Puissances d'un nombre entier positif

Pour tout nombre réel $a$ et tout entier naturel $n\ge 2$, la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :

Par convention : $a^1=a$ et $a^0=1$ (pour $a\ne 0$).

Exemples : $3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$ et $(-2{)}^3=-8$.

2. Puissances d'exposant négatif

Pour tout nombre réel $a\ne 0$ et tout entier $n$, on définit :

Exemples : $10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0,001$ et $2^{-4}=\frac{1}{16}$.

Attention : $a^{-n}$ n'est jamais négatif lorsque $a>0$.

3. Règles de calcul sur les puissances

Pour tous réels $a\ne 0$, $b\ne 0$ et tous entiers relatifs $m$ et $n$ :

Produit de puissances de même base :

Quotient de puissances de même base :

Puissance d'une puissance :

Puissance d'un produit :

Puissance d'un quotient :

4. Puissances de 10

Les puissances de 10 jouent un rôle central. Elles permettent d'exprimer de très grands ou de très petits nombres :

$10^1=10$ ; $10^2=100$ ; $10^3=1000$ ; $10^6=1000000$

$10^{-1}=0,1$ ; $10^{-2}=0,01$ ; $10^{-3}=0,001$ ; $10^{-6}=0,000001$

Multiplier par $10^n$ revient à déplacer la virgule de $n$ rangs vers la droite (si $n>0$) ou vers la gauche (si $n<0$).

5. Notation scientifique

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est de la forme :

où $1\le |a|<10$ (c'est-à-dire $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ est un entier relatif.

Exemples :

$\underset{\text{distance Terre-Lune en km}}{\underbrace{384000}}=3,84\times 10^5$

$\underset{\text{petit nombre}}{\underbrace{0,0000005}}=5\times 10^{-7}$

6. Conversion en notation scientifique

Pour convertir un nombre en notation scientifique, on place la virgule après le premier chiffre significatif, puis on détermine l'exposant $n$ :

— Si le nombre est grand ($\ge 10$), l'exposant est positif : on compte le nombre de rangs dont la virgule se déplace vers la gauche.

— Si le nombre est petit ($<1$), l'exposant est négatif : on compte le nombre de rangs dont la virgule se déplace vers la droite.

Exemple : $0,00472=4,72\times 10^{-3}$ (la virgule se déplace de 3 rangs vers la droite).

7. Opérations en notation scientifique

Multiplication : On multiplie les parties décimales entre elles et on additionne les exposants.

Division : On divise les parties décimales et on soustrait les exposants.

Addition/Soustraction : On ramène d'abord les deux nombres au même exposant, puis on additionne ou soustrait les parties décimales.

8. Ordre de grandeur

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Il permet de comparer et d'estimer rapidement des grandeurs (distances astronomiques, tailles d'atomes, etc.).

On arrondit le coefficient $a$ : si $a<5$, l'ordre de grandeur est $10^n$ ; si $a\ge 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.

Exemple : $3,84\times 10^5$ a pour ordre de grandeur $10^5$ (car $3,84<5$).

Exemple : $7,2\times 10^3$ a pour ordre de grandeur $10^4$ (car $7,2\ge 5$).