Racines carrées — Résumé de cours

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1. Définition de la racine carrée

La racine carrée d'un nombre $a \geq 0$ est le nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ . On la note $a$ .

Autrement dit : $a = b$ signifie que $b \geq 0$ et $b^{2} = a$ .

Exemples : $9 = 3$ car $3^{2} = 9$ ; $0 = 0$ ; $1 = 1$ ; $25 = 5$ .

La racine carrée n'est définie que pour les réels positifs ou nuls. Il n'existe pas de racine carrée d'un nombre strictement négatif dans $R$ .

2. Propriété fondamentale

Pour tout réel $a \geq 0$ , on a :

(a)^{2} = a et a^{2} = a

Attention : $a^{2} = a$ n'est valable que si $a \geq 0$ . Dans le cas général, $a^{2} = ∣ a ∣$ (valeur absolue de $a$ ).

Exemple : $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3∣$ , et non $- 3$ .

3. Racines carrées des entiers — carrés parfaits

Un carré parfait est un entier qui est le carré d'un autre entier. Ses racines carrées sont des entiers.

Carrés parfaits à connaître : $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$ .

Si $a$ n'est pas un carré parfait, $a$ est un irrationnel : son écriture décimale est infinie et non périodique. Par exemple, $2 \approx 1, 414$ .

4. Multiplication et division de racines carrées

Pour tous réels $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

a \times b = a \times b

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b \neq = 0)

Exemples :

$48 = 16 \times 3 = 16 \times 3 = 43$

$\frac{9}{25} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}$

Attention : Il n'existe pas de formule similaire pour l'addition : $a + b \neq = a + b$ en général.

5. Simplification des racines carrées

Simplifier $a$ consiste à écrire $a$ comme produit d'un carré parfait et d'un entier, puis à extraire la racine du carré parfait.

Méthode : On décompose $a$ en facteurs premiers pour repérer les carrés parfaits.

Exemple : $72 = 36 \times 2 = 62$ ; $75 = 25 \times 3 = 53$ .

6. Comparaison de racines carrées

La fonction racine carrée est croissante : pour $0 \leq a \leq b$ , on a $a \leq b$ .

Pour comparer deux réels positifs $x$ et $y$ , il suffit de comparer $x^{2}$ et $y^{2}$ (sans passer par leur racine).

Exemple : Comparer $35$ et $211$ : $(35)^{2} = 45$ et $(211)^{2} = 44$ , donc $35 > 211$ .

7. Calculs avec des expressions contenant des racines

On peut additionner des expressions avec des racines semblables (même radicande), comme on le fait avec des termes algébriques.

Exemple : $32 + 52 = 82$ ; mais $32 + 53$ ne se simplifie pas davantage.

On peut développer des expressions du type $(a + b)^{2}$ ou $(a + b) (a - b)$ avec les identités remarquables.

Exemple : $(3 + 2) (3 - 2) = 3^{2} - (2)^{2} = 9 - 2 = 7$ .

8. Application au théorème de Pythagore et résolution d'équations

Les racines carrées apparaissent naturellement dans l'application du théorème de Pythagore pour calculer une longueur.

Exemple : Dans un triangle rectangle avec $a = 3$ et $b = 4$ , l'hypoténuse vérifie $c^{2} = 9 + 16 = 25$ , donc $c = 25 = 5$ .

On résout également des équations du type $x^{2} = k$ (avec $k \geq 0$ ) : les solutions sont $x = k$ et $x = - k$ , notées $x = \pm k$ .

Exemple : $x^{2} = 7 \Rightarrow x = 7$ ou $x = - 7$ .

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $a = b ⟺ b \geq 0 et b^{2} = a$ (pour $a \geq 0$ )
Propriété fondamentale : $(a)^{2} = a$ pour tout $a \geq 0$
Racine d'un carré : $a^{2} = ∣ a ∣$ pour tout réel $a$ (et $a^{2} = a$ si $a \geq 0$ )
Produit de racines : $a \times b = a \times b$ pour $a \geq 0, b \geq 0$
Quotient de racines : $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ pour $a \geq 0, b > 0$
Croissance : $0 \leq a \leq b ⟹ a \leq b$
Équation $x^{2} = k$ : Si $k > 0$ , solutions $x = k$ ou $x = - k$ ; si $k = 0$ , solution $x = 0$ ; si $k < 0$ , pas de solution dans $R$
Identité remarquable avec racines : $(a + b) (a - b) = a^{2} - b$
Carré d'une somme : $(a + b)^{2} = a + 2 ab + b$
Carrés parfaits à connaître : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Piège classique — la somme : $a + b \neq = a + b$ . Vérifiez avec un exemple : $9 + 16 = 25 = 5$ , mais $9 + 16 = 3 + 4 = 7 \neq = 5$ . La propriété ne fonctionne qu'avec le produit et le quotient.
Piège sur le signe — $a^{2} \neq = a$ en général : N'oubliez pas que $a^{2} = ∣ a ∣$ . Si $a = - 5$ , alors $(- 5)^{2} = 25 = 5$ , pas $- 5$ . La racine carrée est toujours positive ou nulle.
Astuce pour simplifier $a$ : Cherchez toujours le plus grand carré parfait qui divise $a$ . Par exemple, pour $72$ , inutile de s'arrêter à $4 \times 18$ si on peut écrire $36 \times 2 = 62$ directement. La décomposition en facteurs premiers aide : $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ , donc $72 = 2 \times 3 \times 2 = 62$ .
Astuce pour comparer des expressions avec racines : Plutôt que d'utiliser la calculatrice, élevez au carré les deux membres (possibles car les deux sont positifs). Par exemple, pour comparer $10$ et $3$ : $(10)^{2} = 10 > 9 = 3^{2}$ , donc $10 > 3$ .
Mnémotechnique pour les carrés parfaits : Retenez la table des carrés de 1 à 15 : $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ , $3^{2} = 9$ , $4^{2} = 16$ , $5^{2} = 25$ , $6^{2} = 36$ , $7^{2} = 49$ , $8^{2} = 64$ , $9^{2} = 81$ , $1 0^{2} = 100$ , $1 1^{2} = 121$ , $1 2^{2} = 144$ , $1 3^{2} = 169$ , $1 4^{2} = 196$ , $1 5^{2} = 225$ . Les lire à l'envers donne les racines carrées exactes les plus utiles.

Racines carrées — Fiche d'exercices

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Calculs avec les racines carrées

Facile

Énoncé

Calculer sans calculatrice.

1. $49$

2. $0, 25$

3. $4 \times 9$

4. $12$ (simplifier)

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Racines carrées

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2. Propriété fondamentale

3. Racines carrées des entiers — carrés parfaits

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5. Simplification des racines carrées

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Calculs avec les racines carrées

Domaine de définition de $\sqrt{x}$

Calcul de racines carrées simples

Racines carrées de fractions simples

Carré d'une racine carrée

Comparer des racines carrées

Longueur d'un côté d'un carré

Calculer des racines carrées exactes

Simplifier une racine carrée

Produit et quotient de racines carrées

Encadrer une racine carrée par des entiers

Exercices Intermédiaires

Encadrement d'une racine carrée

Problème de distance — carte au trésor

Trois fractions à rationaliser (racines 5, 3, 7)

Simplification de racines carrées

Calcul avec des racines carrées — produits et quotients

Addition et soustraction de racines carrées

Triangle ABC : hypoténuse AB exacte et arrondie

Simplifier des expressions avec racines

Équations avec racines carrées

Réduire des expressions avec racines

Hypoténuse exacte d'un triangle 3 cm et 5 cm

Trois fractions à rationaliser (racines 2, 5, 6)

Identités remarquables avec des racines

Résoudre une équation avec une racine carrée

Diagonale d'un carré

Exercices Difficiles

Deux fractions à rationaliser (racines 3 et 2)

Pythagore avec racines

Développer une expression avec des racines carrées

Démonstration — irrationnalité de $\sqrt{2}$

Comparer des expressions avec racines

Problème — trouver le côté d'un carré

Exercices supplémentaires

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Quiz — Racines carrées

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