Équation de droite — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

1. Rappels : repère orthogonal et coordonnées

Dans le plan, un repère orthogonal $(O; i, j)$ est formé d'une origine $O$ et de deux axes perpendiculaires (axe des abscisses et axe des ordonnées). Tout point $M$ du plan est repéré par ses coordonnées $(x; y)$ où $x$ est l'abscisse et $y$ est l'ordonnée.

2. Définition de l'équation d'une droite

Dans un repère orthogonal, toute droite peut être représentée par une équation. On distingue deux cas :

— Les droites non verticales ont une équation de la forme $y = a x + b$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

— Les droites verticales ont une équation de la forme $x = k$ , où $k$ est un nombre réel (constante).

Un point $M (x_{M}; y_{M})$ appartient à une droite d'équation $y = a x + b$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation, c'est-à-dire $y_{M} = a x_{M} + b$ .

3. Le coefficient directeur (pente)

Dans l'équation $y = a x + b$ , le nombre $a$ s'appelle le coefficient directeur (ou pente) de la droite.

Il représente l'accroissement de $y$ lorsque $x$ augmente de $1$ . Géométriquement :

— Si $a > 0$ , la droite est croissante (elle monte de gauche à droite).

— Si $a < 0$ , la droite est décroissante (elle descend de gauche à droite).

— Si $a = 0$ , la droite est horizontale.

Le coefficient directeur se calcule à partir de deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ de la droite par :

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} (x_{A} \neq = x_{B})

4. L'ordonnée à l'origine

Dans l'équation $y = a x + b$ , le nombre $b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées, c'est-à-dire le point de coordonnées $(0; b)$ .

Pour lire $b$ graphiquement, on repère la valeur de $y$ au point où la droite coupe l'axe des ordonnées (là où $x = 0$ ).

5. Déterminer l'équation d'une droite

Pour déterminer l'équation $y = a x + b$ d'une droite, on peut procéder de deux façons :

À partir d'un graphique : on lit le coefficient directeur $a$ (en calculant un « déplacement ») et l'ordonnée à l'origine $b$ directement sur le graphique.

À partir de deux points : on calcule d'abord $a$ avec la formule du coefficient directeur, puis on substitue les coordonnées d'un des points dans $y = a x + b$ pour trouver $b$ .

6. Droites parallèles et droites sécantes

Deux droites d'équations $y = a_{1} x + b_{1}$ et $y = a_{2} x + b_{2}$ sont :

— Parallèles (et distinctes) si et seulement si $a_{1} = a_{2}$ et $b_{1} \neq = b_{2}$ .

— Confondues si et seulement si $a_{1} = a_{2}$ et $b_{1} = b_{2}$ .

— Sécantes (elles se coupent en un point) si et seulement si $a_{1} \neq = a_{2}$ . Le point d'intersection se trouve en résolvant le système ${y = a_{1} x + b_{1} y = a_{2} x + b_{2}$ .

7. Lire et tracer une droite dans un repère

Pour tracer la droite d'équation $y = a x + b$ :

1° On place le point d'ordonnée à l'origine $(0; b)$ .

2° On utilise le coefficient directeur $a$ pour placer un second point : depuis $(0; b)$ , on avance de $1$ en abscisse et de $a$ en ordonnée, ce qui donne le point $(1; a + b)$ .

3° On trace la droite passant par ces deux points.

Pour lire l'équation depuis un graphique, on identifie visuellement $b$ (intersection avec l'axe des ordonnées) et $a$ (rapport déplacement vertical / déplacement horizontal entre deux points du quadrillage).

8. Liens avec les fonctions affines et linéaires

L'équation $y = a x + b$ est la représentation graphique d'une fonction affine de la forme $f (x) = a x + b$ .

— Lorsque $b = 0$ , la fonction est linéaire : $f (x) = a x$ . Sa représentation passe par l'origine $O (0; 0)$ .

— Lorsque $a = 0$ , la fonction est constante : $f (x) = b$ . Sa représentation est une droite horizontale.

🔑 Formules clés à retenir

Équation générale d'une droite non verticale : $y = a x + b$ , avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.
Équation d'une droite verticale : $x = k$ (où $k \in R$ ).
Équation d'une droite horizontale : $y = b$ (coefficient directeur $a = 0$ ).
Coefficient directeur à partir de deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ : $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$
Ordonnée à l'origine : $b = y - a x$ , obtenue en substituant les coordonnées d'un point connu et la valeur de $a$ .
Condition d'appartenance : $M (x_{M}; y_{M}) \in (d)$ si et seulement si $y_{M} = a x_{M} + b$ .
Droites parallèles : $(d_{1}) ∥ (d_{2}) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}$ et $b_{1} \neq = b_{2}$ .
Droites confondues : $(d_{1}) = (d_{2}) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}$ et $b_{1} = b_{2}$ .
Droites sécantes : $a_{1} \neq = a_{2}$ ; les coordonnées du point d'intersection sont solution du système ${y = a_{1} x + b_{1} y = a_{2} x + b_{2}$ .
Fonction linéaire : $y = a x$ (la droite passe par l'origine, $b = 0$ ).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Moyen mnémotechnique pour $a$ et $b$ : « $a$ c'est l'Allure (la pente), $b$ c'est le Bas (là où la droite touche l'axe des ordonnées) ». Penser à « $b$ en Bas sur l'axe $y$ ».
Piège classique — signe du coefficient directeur : Attention à ne pas confondre une droite décroissante avec une pente positive. Si la droite descend de gauche à droite, alors $a$ est négatif. Vérifier le signe de $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ en choisissant $x_{B} > x_{A}$ .
Piège classique — droite verticale : La droite d'équation $x = 3$ n'est PAS de la forme $y = a x + b$ ; elle est verticale et n'a pas de coefficient directeur. Ne jamais écrire $y =$ quelque chose pour une droite verticale.
Astuce de tracé : Pour tracer proprement, choisir un coefficient directeur sous forme de fraction $\frac{p}{q}$ : avancer de $q$ cases vers la droite et de $p$ cases vers le haut (ou vers le bas si $p < 0$ ). Exemple : $a = \frac{2}{3}$ → $+ 3$ en $x$ , $+ 2$ en $y$ .
Vérification rapide : Après avoir trouvé $y = a x + b$ , toujours substituer les coordonnées des deux points de départ pour vérifier que l'équation est correcte. Si l'égalité n'est pas vérifiée, il y a une erreur de calcul.

Équation de droite — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

16 exercices

Milieu et longueur d'un segment

Facile

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (2; - 2); B (4; - 1); C (- 6; - 2)$

Déterminer les coordonnées du vecteur $A B$ .
Déterminer les coordonnées du point $M$ , milieu de $[A B]$ .
Calculer la longueur $A B$ .

Ma réponse

Équation de droite

Équation de droite — Résumé de cours

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Contenu du cours

1. Rappels : repère orthogonal et coordonnées

2. Définition de l'équation d'une droite

3. Le coefficient directeur (pente)

4. L'ordonnée à l'origine

5. Déterminer l'équation d'une droite

6. Droites parallèles et droites sécantes

7. Lire et tracer une droite dans un repère

8. Liens avec les fonctions affines et linéaires

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Méthode 2 : Déterminer le point d'intersection de deux droites

Équation de droite — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Milieu et longueur d'un segment

Appartenance et abscisse inconnue

Placer des points dans un repère

Coordonnées de vecteurs

Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite

Droite horizontale et droite verticale

Un point est-il sur la droite ?

Lire une equation dans une phrase

Reconnaitre le coefficient directeur et l'ordonnee a l'origine

Ordonnee d'un point d'abscisse donnee

Lire la pente et l'ordonnée à l'origine

Calculer les coordonnées d'un point

Calculer la pente à partir d'un tableau

Sens de variation d'une droite

Pente d'une droite passant par deux points

Équation d'une droite — lecture graphique

Exercices Intermédiaires

Milieux et symétrie dans un repère

Droites perpendiculaires : critère

Droites parallèles

Points alignés

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Déterminer des équations réduites de droites

Ecrire une droite parallele passant par un point

Coefficient directeur negatif et fractionnaire

Equation reduite passant par deux points

Retrouver une valeur manquante

Reconnaitre des droites paralleles

Coefficient directeur a partir de deux points

Triangle rectangle par les longueurs

Déterminer l'équation d'une droite (2 points)

Équation connaissant la pente et un point

Point d'intersection de deux droites

Parallèle et perpendiculaire à d₁ par A(0, 4)

Trouver l'abscisse d'un point

Application — tarif téléphonique

Parallèle par (0, 5) et perpendiculaire par (0, 0)

Intersection de deux droites

Exercices Difficiles

Droite (AB), perpendicularité et parallèle

Triangle rectangle par les coefficients directeurs

Translation et carré dans un repère

Médiatrice d'un segment

Intersection de deux droites secantes

Probleme : deux abonnements de salle de sport

Intersection avec coefficients fractionnaires

Trois points alignes par le calcul

Vecteur, distance, milieu et médiatrice

Droite passant par le milieu d'un segment

Vérifier que trois points sont alignés

Équation d'une droite par deux points

Position relative de trois points

Exercices supplémentaires

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Quiz — Équation de droite

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé