Identités remarquables — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Introduction aux identités remarquables

Une identité remarquable est une égalité algébrique qui est vraie pour toutes les valeurs des variables. En 3ème, on étudie trois identités fondamentales qui permettent de développer ou de factoriser des expressions algébriques plus rapidement.

Ces identités sont particulièrement utiles pour simplifier des calculs, résoudre des équations ou factoriser des expressions complexes.

2. Première identité remarquable : carré d'une somme

Pour tous réels $a$ et $b$ , on a :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Démonstration : $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Exemple : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

3. Deuxième identité remarquable : carré d'une différence

Pour tous réels $a$ et $b$ , on a :

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Démonstration : $(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Exemple : $(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} - 10 x + 25$

4. Troisième identité remarquable : différence de deux carrés

Pour tous réels $a$ et $b$ , on a :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Démonstration : $(a + b) (a - b) = a^{2} - ab + ba - b^{2} = a^{2} - b^{2}$

Exemple : $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 4^{2} = x^{2} - 16$

5. Utilisation pour développer

Développer une expression, c'est l'écrire sans parenthèses, sous forme d'une somme ou d'une différence de termes. On reconnaît la forme de l'identité, on identifie $a$ et $b$ , puis on applique la formule.

Exemple : Développer $(2 x + 3)^{2}$ .

Ici $a = 2 x$ et $b = 3$ , donc : $(2 x + 3)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$

6. Utilisation pour factoriser

Factoriser une expression, c'est l'écrire comme un produit de facteurs. On utilise les identités remarquables « dans l'autre sens ».

Si on reconnaît la forme $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , on factorise en $(a + b)^{2}$ .

Si on reconnaît la forme $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , on factorise en $(a - b)^{2}$ .

Si on reconnaît la forme $a^{2} - b^{2}$ , on factorise en $(a + b) (a - b)$ .

Exemple : Factoriser $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x + 3) (x - 3)$

7. Cas particuliers et expressions plus complexes

Les identités s'appliquent même lorsque $a$ ou $b$ sont des expressions complexes. Il faut bien identifier les termes $a$ et $b$ avant d'appliquer la formule.

Exemple 1 : $(3 x - 2 y)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 y + (2 y)^{2} = 9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}$

Exemple 2 : $(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = (x^{2})^{2} - 1^{2} = x^{4} - 1$

8. Application au calcul numérique

Les identités remarquables permettent aussi de calculer rapidement certains produits ou carrés numériques.

Exemple 1 : $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$

Exemple 2 : $101 \times 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10 0^{2} - 1 = 9999$

🔑 Formules clés à retenir

Carré d'une somme : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
Carré d'une différence : $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
Différence de deux carrés : $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Factorisation (carré d'une somme) : $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
Factorisation (carré d'une différence) : $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
Factorisation (différence de carrés) : $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
Rappel : $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ — il ne faut pas oublier le terme $2 ab$ !

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Le piège du carré d'une somme : Beaucoup d'élèves écrivent $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . C'est FAUX ! N'oublie jamais le terme du milieu : $+ 2 ab$ . Retiens : « quand je développe un carré, j'ai toujours trois termes ».
Moyen mnémotechnique : Pour $(a + b)^{2}$ , pense à « premier carré, double produit, deuxième carré » : $a^{2}$ , puis $2 \times a \times b$ , puis $b^{2}$ . Pour $(a - b)^{2}$ , c'est pareil mais le double produit est négatif.
Reconnaître la différence de deux carrés : Dès que tu vois une expression de la forme $A^{2} - B^{2}$ (un carré moins un carré), pense immédiatement à la factorisation $(A + B) (A - B)$ . Repère les carrés : $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , $25 = 5^{2}$ , $x^{2}$ , $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , etc.
Bien identifier $a$ et $b$ : Avant d'appliquer une identité, entoure mentalement $a$ et $b$ . Par exemple dans $(3 x + 5)^{2}$ , $a = 3 x$ et $b = 5$ , donc le double produit est $2 \times 3 x \times 5 = 30 x$ et non $2 \times 3 \times 5 = 30$ .
Astuce de vérification : Après avoir développé, on peut vérifier son résultat en substituant une valeur numérique simple (par exemple $x = 1$ ) dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux doivent donner le même nombre.

Identités remarquables — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

14 exercices

Développement de (x - 4)²

Facile

Énoncé

Développez l'expression $(x - 4)^{2}$ .

Ma réponse

Identités remarquables

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Contenu du cours

1. Introduction aux identités remarquables

2. Première identité remarquable : carré d'une somme

3. Deuxième identité remarquable : carré d'une différence

4. Troisième identité remarquable : différence de deux carrés

5. Utilisation pour développer

6. Utilisation pour factoriser

7. Cas particuliers et expressions plus complexes

8. Application au calcul numérique

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Développer une expression à l'aide des identités remarquables

Méthode 2 : Factoriser une expression à l'aide des identités remarquables

Identités remarquables — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Développement de (x - 4)²

Calcul mental avec les identités remarquables

Identité de différence de carrés

Calcul astucieux d'aire

Identité remarquable à vérifier

Le carre de la difference x moins six

Un carre parfait a reconnaitre

Le carre de x plus sept

Vingt-cinq moins le carre de x

Difference des carres de neuf

Le carre de deux x plus un

Une soustraction de carres a factoriser

Developper avec le carre d'une somme

Developper avec une difference de carres

Exercices Intermédiaires

Factoriser des trinômes

Factoriser avec des racines carrées

Facteur commun avec racines

Équation quadratique

Carrés contenant des racines carrées

Développer avec des racines carrées

Problème concret

Factoriser 16 - y²

Développer (3x + 2)²

Démontrer une identité remarquable

Application d'identités

Calcul mental avec identités

Produit de binômes

Developper le carre de trois x moins quatre

Calcul rapide du carre de cent-deux

Le produit de deux binomes conjugues

Factoriser quatre x carre moins neuf

Deux carres qui se soustraient astucieusement

Reconnaitre un carre parfait avec coefficient

Produit astucieux de cent-trois par quatre-vingt-dix-sept

Calcul mental astucieux

Factoriser avec une identite remarquable

Exercices Difficiles

Identité remarquable avancée

Prouver des égalités

Expressions mêlant plusieurs identités

Combiner les identités remarquables

Factoriser en combinant les méthodes

Identité remarquable et facteur commun

Résolution d'équation

Application de la factorisation

Problème avec des frais

Applications avancées

Combiner distribution et identite remarquable

Une combinaison de deux identites a simplifier

Facteur commun cache derriere une identite

Factoriser puis resoudre une equation produit nul

Developper et reduire une somme de deux carres

Equation menant a un carre parfait

Factoriser avec facteur commun puis identite

Developper, reduire puis factoriser

Exercices supplémentaires

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Quiz — Identités remarquables

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé