Démontrez que si un triangle ABC est symétrique par rapport à une droite (d), alors les longueurs des côtés restent constantes.

Un cercle C a pour centre $O(2,1)$ et pour rayon $2$. L'axe de symétrie est (d) : $x=5$.

1. Trouver le centre O' du cercle symétrique.
2. Quel est le rayon du cercle symétrique ?
3. Montrer que le point $(5,1)$ appartient à la fois au cercle C et au cercle C'.

Montrer que le rectangle ABCD avec A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4) possède deux axes de symétrie.

1. Trouver l'équation de ces deux axes.
2. Vérifier que les diagonales se croisent en leur milieu.
3. Si on applique successivement les deux symétries, qu'obtient-on ?

Dans une salle de classe, les élèves sont disposés en rangées. Les élèves A(1, 2), B(2, 2), C(3, 2) et D(4, 2) sont assis sur une ligne droite. La maîtresse trace une ligne (d) à x = 2,5. Trouvez les symétriques A', B', C' et D' des élèves A, B, C et D par rapport à (d) et montrez que les points A', B', C' et D' sont également alignés.

Un jardin a la forme d'un triangle ABC avec A(2, 3), B(6, 7) et C(2, 7). Si ce jardin est réfléchi par rapport à la droite y = 5, quelle sera la nouvelle position des points A', B', C' ?

Un triangle a pour sommets $A(0,0)$, $B(4,0)$ et $C(2,4)$. Calculez l'aire du triangle et celle de son symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Dans un repere quadrillage, on place les points $A(1;3)$ et $B(6;3)$ situes du meme cote d'un axe $d$ qui est l'axe des abscisses (la droite $y=0$). Un point mobile part de $A$, touche l'axe $d$ en un point $P$, puis rejoint $B$.

1. Donne les coordonnees de $A^{\prime }$, symetrique de $A$ par rapport a $d$.
2. Explique pourquoi le chemin le plus court $A\to P\to B$ correspond au segment $[A^{\prime }B]$.
3. La longueur $AP$ est-elle egale a la longueur $A^{\prime }P$ ? Justifie.

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignes dans cet ordre, avec $AB=3$ cm et $BC=5$ cm. On construit leurs symetriques $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ par rapport a une droite $d$.

1. Les points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ sont-ils alignes ? Justifie.
2. Calcule la longueur $A^{\prime }{C}^{\prime }$.

On considere les lettres majuscules imprimees suivantes : A, B, E, M, N, T, W, Z.

1. Parmi ces lettres, lesquelles possedent un axe de symetrie vertical ?
2. Parmi ces memes lettres, lesquelles possedent un axe de symetrie horizontal ?

Dans un repere quadrillage, on part du point $A(3;4)$. On applique d'abord la symetrie par rapport a l'axe des ordonnees ($x=0$) pour obtenir $A_1$, puis la symetrie par rapport a l'axe des abscisses ($y=0$) appliquee a $A_1$ pour obtenir $A_2$.

1. Donne les coordonnees de $A_1$.
2. Donne les coordonnees de $A_2$.
3. Comment passe-t-on directement de $A$ a $A_2$ ?

Dans un repere quadrillage, un triangle a pour sommets $A(1;2)$, $B(4;2)$ et $C(4;6)$. On construit son symetrique par rapport a l'axe des ordonnees ($x=0$).

1. Donne les coordonnees de $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$.
2. Verifie que $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ en calculant les deux longueurs.

Un triangle $ABC$ est isocele en $A$ (c'est-a-dire $AB=AC$). On note $I$ le milieu de $[BC]$.

1. Combien d'axes de symetrie possede ce triangle ?
2. Montre que la droite $(AI)$ est un axe de symetrie du triangle.
3. Que peut-on en deduire sur les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ ?

On etudie le nombre d'axes de symetrie de plusieurs figures geometriques.

[Figure : un carre, un rectangle (non carre), un triangle equilateral, un triangle isocele (non equilateral) et un cercle, dessines cote a cote.]

1. Pour chacune des figures suivantes, indique le nombre d'axes de symetrie et decris-les :

a) le carre ; b) le rectangle non carre ; c) le triangle equilateral ; d) le triangle isocele non equilateral.

2. Combien le cercle possede-t-il d'axes de symetrie ? Explique.

3. Un eleve affirme : « Toutes les figures qui ont 4 cotes egaux ont 4 axes de symetrie. » A l'aide du losange (non carre), explique pourquoi c'est faux.

Sur un quadrillage, on place le triangle $ABC$ avec :

• $A$ a $2$ carreaux a gauche d'une droite verticale $(d)$ et sur la ligne du bas ;
• $B$ a $4$ carreaux a gauche de $(d)$ et sur la ligne du bas ;
• $C$ a $2$ carreaux a gauche de $(d)$ et $3$ carreaux plus haut que $A$.

1. Construis le triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, symetrique de $ABC$ par rapport a $(d)$. Donne la position de $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$ en carreaux par rapport a $(d)$.

2. On trace ensuite une droite horizontale $(h)$ qui passe par la ligne du bas. On note $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }{C}^{\prime \prime }$ le symetrique de $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ par rapport a $(h)$. La figure finale $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }{C}^{\prime \prime }$ a-t-elle la meme longueur de cotes que la figure de depart $ABC$ ? Justifie.

3. Une boule de billard part du point $A$, touche la droite $(d)$ (le bord de la table) puis rebondit. On modelise le trajet apres le rebond par le segment qui rejoindrait le symetrique de la cible. Explique en une phrase pourquoi la symetrie axiale est un bon modele pour un rebond.