Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir avec certitude lequel se produira. Exemple : lancer un dé, tirer une carte, lancer une pièce.

2. Issues

Les issues (ou résultats, ou éventualités) sont les différents résultats possibles d'une expérience aléatoire. Exemple : pour le lancer d'un dé, les issues sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .

3. Univers

L'univers, noté $Ω$ , est l'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire. Pour le dé : $Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Le nombre d'issues est ici $6$ .

4. Événement

Un événement est un sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire une partie des issues. Exemple : « obtenir un nombre pair » est l'événement $A = {2; 4; 6}$ . Une issue qui réalise un événement est dite favorable.

5. Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure sa chance de se réaliser. On la note $P (A)$ . Un événement impossible a une probabilité de $0$ , un événement certain a une probabilité de $1$ .

6. Loi de probabilité

Définir une loi de probabilité sur un univers, c'est associer à chaque issue une probabilité. La somme de toutes les probabilités des issues est toujours égale à $1$ . Exemple : pour une pièce, $P (Pile) + P (Face) = 1$ .

7. Équiprobabilité

Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire. Si l'univers a $n$ issues, chacune a alors une probabilité de $\frac{1}{n}$ . On parle de situation d'équiprobabilité pour un dé ou une pièce équilibrés.

8. Calcul en situation d'équiprobabilité

En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ se calcule par : $P (A) = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues possibles}$ . Exemple : « obtenir un nombre pair » avec un dé : $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

9. Événement contraire

L'événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est l'événement qui se réalise lorsque $A$ ne se réalise pas. On a toujours : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ . Exemple : si $P (A) = \frac{1}{4}$ , alors $P (\overline{A}) = \frac{3}{4}$ .

10. Réunion et intersection

La réunion de deux événements $A$ et $B$ , notée $A \cup B$ , est l'événement « $A$ ou $B$ » (au moins l'un des deux). L'intersection, notée $A \cap B$ , est l'événement « $A$ et $B$ » (les deux en même temps).

11. Formule de la réunion

Pour tous événements $A$ et $B$ : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$ On retranche $P (A \cap B)$ pour ne pas compter deux fois les issues communes à $A$ et $B$ .

12. Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : $A \cap B = \emptyset$ et $P (A \cap B) = 0$ . Dans ce cas, la formule devient simplement $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

13. Dénombrement par arbre ou tableau

Pour dénombrer les issues d'une expérience à plusieurs étapes, on utilise un arbre ou un tableau à double entrée. Exemple : lancer deux pièces donne $4$ issues : PP, PF, FP, FF. On compte alors les issues favorables.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Équiprobabilité avec un dé et un jeu de cartes

Énoncé. On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ . Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair » et $B$ l'événement « obtenir un nombre strictement supérieur à $4$ ». Calculer $P (A)$ et $P (B)$ . On tire ensuite au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. Calculer la probabilité de tirer un roi.

Solution.

Situation d'équiprobabilité. Le dé est équilibré : les $6$ issues $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ont toutes la même probabilité. On utilise donc la formule $P (\overset{e}{ˊ} v \overset{e}{ˊ} nement) = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues possibles}$ .
Calcul de $P (A)$ . Les nombres pairs sont $2$ , $4$ et $6$ , soit $3$ issues favorables sur $6$ : $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Calcul de $P (B)$ . Les nombres strictement supérieurs à $4$ sont $5$ et $6$ , soit $2$ issues favorables sur $6$ : $P (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Tirage d'une carte. Le tirage au hasard rend les $32$ cartes équiprobables. Un jeu de $32$ cartes contient $4$ rois (un par couleur : cœur, carreau, pique, trèfle).
Conclusion. La probabilité de tirer un roi est $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ . (Vérification : $\frac{1}{8} = 0, 125$ , ce qui est bien compris entre $0$ et $1$ .)

Exemple 2 — Événement contraire et formule $P (A \cup B)$

Énoncé. Dans une classe de $30$ élèves, $18$ étudient l'espagnol ( $E$ ), $12$ étudient l'allemand ( $D$ ) et $5$ étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard. (a) Calculer la probabilité qu'il étudie au moins une de ces deux langues, c'est-à-dire $P (E \cup D)$ . (b) En déduire la probabilité qu'il n'étudie aucune de ces deux langues.

Solution.

Traduction des données. Le choix au hasard donne l'équiprobabilité sur $30$ élèves. On a $P (E) = \frac{18}{30}$ , $P (D) = \frac{12}{30}$ et $P (E \cap D) = \frac{5}{30}$ (les $5$ élèves qui étudient les deux langues).
Formule de la réunion. On ne peut pas simplement additionner $P (E)$ et $P (D)$ , car les $5$ élèves communs seraient comptés deux fois. On utilise donc $P (E \cup D) = P (E) + P (D) - P (E \cap D)$ .
Calcul de $P (E \cup D)$ . $P (E \cup D) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{18 + 12 - 5}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$ .
Événement contraire. « N'étudier aucune des deux langues » est l'événement contraire de « étudier au moins une langue ». On utilise $P (\overline{E \cup D}) = 1 - P (E \cup D)$ .
Conclusion. $P (\overline{E \cup D}) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ . (Vérification par dénombrement : $25$ élèves étudient au moins une langue, donc $30 - 25 = 5$ n'en étudient aucune, et $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ .)

Exemple 3 — Dénombrement à l'aide d'un arbre et d'un tableau

Énoncé. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée (Pile $P$ ou Face $F$ ). (a) À l'aide d'un arbre, déterminer toutes les issues possibles. (b) Calculer la probabilité d'obtenir exactement un Pile. On lance ensuite deux dés équilibrés à six faces ; à l'aide d'un tableau, calculer la probabilité que la somme des deux dés soit égale à $7$ .

Solution.

Construction de l'arbre. Au premier lancer, deux branches : $P$ ou $F$ . À partir de chacune, deux nouvelles branches au second lancer. On obtient $4$ issues équiprobables : $(P, P)$ , $(P, F)$ , $(F, P)$ et $(F, F)$ .
Probabilité d'exactement un Pile. Les issues favorables sont $(P, F)$ et $(F, P)$ , soit $2$ issues sur $4$ : $P (exactement un Pile) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Construction du tableau pour deux dés. On place le premier dé en lignes ( $1$ à $6$ ) et le second en colonnes ( $1$ à $6$ ). Le tableau a $6 \times 6 = 36$ cases, chacune correspondant à une issue équiprobable du type $(d \overset{e}{ˊ} 1, d \overset{e}{ˊ} 2)$ .
Recherche de la somme $7$ . Les couples dont la somme vaut $7$ sont : $(1, 6)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(5, 2)$ et $(6, 1)$ , soit $6$ cases favorables.
Conclusion. $P (somme = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . (Vérification : la somme $7$ est la plus fréquente des sommes possibles, ce qui est cohérent avec $\frac{1}{6} \approx 0, 17$ , la plus grande des probabilités de somme.)

🔑 Formules clés à retenir

Probabilité : $0 \leq P (A) \leq 1$
Somme des probabilités des issues : $P (e_{1}) + P (e_{2}) + \dots + P (e_{n}) = 1$
Équiprobabilité ( $n$ issues) : chaque issue a pour probabilité $\frac{1}{n}$
En équiprobabilité : $P (A) = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$
Événement contraire : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
Réunion : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) : $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
Événement impossible : $P (\emptyset) = 0$ ; événement certain : $P (Ω) = 1$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Incompatibles $\neq =$ contraires. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble ( $A \cap B = \emptyset$ ), mais il peut exister une troisième possibilité. Deux événements contraires sont incompatibles ET recouvrent tout l'univers : $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ . Tous les contraires sont incompatibles, mais l'inverse est faux.
Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : un résultat négatif ou supérieur à $1$ signale une erreur de calcul.
Ne pas oublier de retrancher $P (A \cap B)$ dans la formule de la réunion : sinon les issues communes sont comptées deux fois.
« au moins un » : penser presque toujours à l'événement contraire « aucun ».
Vérifier l'équiprobabilité avant d'utiliser $\frac{favorables}{possibles}$ : avec un dé truqué, cette formule ne s'applique pas.
Pour une loi de probabilité, vérifier que la somme des probabilités vaut bien $1$ : c'est un contrôle rapide et efficace.

Probabilités — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

Tableau de probabilités

Facile

Énoncé

Enquête auprès de 200 personnes : 120 hommes (dont 80 actifs), 80 femmes (dont 45 actives). On choisit une personne au hasard. P(active) ? P(homme actif) ?

Ma réponse

Nombre de lancers	10	50	100	500	1000
Nombre de "Pile"	7	23	52	247	503
Fréquence	...	...	...	...	...

	Homme	Femme	Total
Aime les maths	55	45	100
N'aime pas	65	35	100
Total	120	80	200

	Football	Natation	Autre	Total
Garçons	45	20	15	80
Filles	5	35	30	70
Total	50	55	45	150

Probabilités

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Contenu du cours

1. Expérience aléatoire

2. Issues

3. Univers

4. Événement

5. Probabilité d'un événement

6. Loi de probabilité

7. Équiprobabilité

8. Calcul en situation d'équiprobabilité

9. Événement contraire

10. Réunion et intersection

11. Formule de la réunion

12. Événements incompatibles

13. Dénombrement par arbre ou tableau

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Équiprobabilité avec un dé et un jeu de cartes

Exemple 2 — Événement contraire et formule P(A∪B)

Exemple 3 — Dénombrement à l'aide d'un arbre et d'un tableau

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Probabilités — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Tableau de probabilités

Loi binomiale B(5, 0,4) — calculs directs

Tirage d'une boule

Tirage de boules

Lancer d'un dé

Choix d'étudiants

Sondage sur les préférences

Tirage de cartes

Probabilité d'un tirage

La roue de loterie à dix secteurs

Le dé équilibré à douze faces

Le dé équilibré à six faces

Probabilités élémentaires — dé et pile ou face

Union et intersection d'événements

Dé à 6 faces : pair, impair et un 1 ou 2

Lancer de dé équilibré

Tirage d'une carte

Urne avec boules colorées

Roue de loterie

Anniversaire en saison

Exercices Intermédiaires

Jeux de société

Loi binomiale : 6 faces sur 10 lancers d'un joueur

Événements indépendants

Loi binomiale : 6 piles sur 10 lancers

Sondage sur les langues étudiées

Une carte tirée d'un jeu de 32 cartes

Dé à 6 faces : pair, {1;3} et multiples de 3

Sac de billes

Fréquences et stabilisation

Intersection et réunion d'événements

Match de tennis

Deux dés et somme

Arbre des possibles — deux lancers de pièce

Tirage dans une urne sans remise

Fréquences et probabilités — sondage

Tirage avec remise vs sans remise

Tirage d'une carte et formule de la réunion

Exercices Difficiles

Loi binomiale : QCM de 10 questions

Variance d'une loi binomiale B(5 ; 0,4)

Variance d'une loi binomiale B(10 ; 0,3)

Urne 5 rouges/3 bleues : rouge ou bleue

Problème complexe

Loi binomiale appliquée

Calcul de la variance

Somme des faces de deux dés

Deux jetons tirés successivement d'un sac

Probabilité et tableau à double entrée — compléter et calculer

Simulation et fréquences — loi des grands nombres

Modélisation probabiliste d'un jeu de hasard

Les activités d'un club de loisirs

Exercices supplémentaires

Exemple 2 — Événement contraire et formule $P (A \cup B)$