1. Rappels sur les solides usuels

En 4ème, on travaille avec plusieurs solides de l'espace dont il faut connaître les caractéristiques géométriques. Les principaux solides sont : le cube, le pavé droit (ou parallélépipède rectangle), le prisme droit, la pyramide, le cône de révolution et la boule (ou sphère).

Pour chaque solide, on distingue ses faces, ses arêtes et ses sommets. La relation d'Euler (hors programme obligatoire) relie ces éléments pour les polyèdres.

2. Le prisme droit

Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, reliés par des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases. La hauteur $h$ est la distance entre les deux bases.

Le volume d'un prisme droit se calcule en multipliant l'aire de la base par la hauteur : $$V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$$

Exemples de prismes droits : le cube, le pavé droit, le cylindre de révolution (cas limite avec une base circulaire).

3. Le cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés. Sa base est un disque de rayon $r$ et sa hauteur est $h$.

Son volume se calcule par : $$V=\pi \times r^2\times h$$

Son aire latérale (le développement du cylindre sans les bases) est ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=2\pi rh$, et son aire totale est ${\mathcal{A}}_{\text{tot}}=2\pi rh+2\pi r^2$.

4. La pyramide

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont toutes les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun appelé apex (ou sommet de la pyramide). La hauteur $h$ est la distance entre l'apex et le plan de la base.

Le volume d'une pyramide est trois fois plus petit que celui du prisme de même base et de même hauteur : $$V=\frac{1}{3}\times {\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$$

Un cas particulier est la pyramide à base carrée, très souvent rencontrée dans les exercices.

5. Le cône de révolution

Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Sa base est un disque de rayon $r$, sa hauteur est $h$ et son apothème (génératrice) est $l$, avec $l^2=r^2+h^2$ (théorème de Pythagore).

Le cône est au cylindre ce que la pyramide est au prisme : son volume vaut le tiers du cylindre de même base et même hauteur : $$V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2\times h$$

6. La boule et la sphère

Une sphère est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ (le rayon) d'un point fixe appelé centre. La boule est le solide délimité par la sphère (intérieur inclus).

Le volume de la boule de rayon $r$ est : $$V=\frac{4}{3}\times \pi \times r^3$$

L'aire de la sphère (surface) est $\mathcal{A}=4\pi r^2$.

7. Unités de volume et conversions

Les unités de volume usuelles sont le mm³, cm³, dm³ et m³. Chaque passage d'une unité à la suivante se fait en multipliant ou divisant par 1 000 (car $10^3=1000$).

Le lien avec les unités de capacité est : $1{\text{dm}}^3=1\text{L}$ (litre) et $1{\text{cm}}^3=1\text{mL}$ (millilitre).

Il est indispensable de convertir toutes les longueurs dans la même unité avant tout calcul de volume.

8. Résolution de problèmes : contenance et comparaison de volumes

En 4ème, on est souvent amené à résoudre des problèmes concrets : calculer la contenance d'un récipient, comparer des volumes, déterminer une dimension inconnue à partir d'un volume donné, ou encore calculer le nombre d'objets pouvant remplir un contenant.

Ces problèmes nécessitent de bien identifier le solide en jeu, d'appliquer la formule adéquate et de convertir les unités si nécessaire.