1. Rappels et vocabulaire de base

Une série statistique est un ensemble de données numériques ou qualitatives recueillies sur une population selon un caractère étudié. Chaque valeur observée s'appelle une donnée ou une valeur, et le nombre de fois qu'elle apparaît est son effectif.

L'effectif total $n$ est la somme de tous les effectifs. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total.

2. Effectifs et fréquences

Pour une valeur $x_i$ d'effectif $n_i$ dans une série de taille $n$ :

La fréquence est $f_i=\frac{n_i}{n}$. Elle est souvent exprimée en pourcentage : $f_i\times 100$.

La somme de tous les effectifs vaut $n$ et la somme de toutes les fréquences vaut $1$ (soit $100\%$).

3. La moyenne

La moyenne $\bar{x}$ d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total :

On peut aussi calculer la moyenne à partir des fréquences : $\bar{x}=x_1\times f_1+x_2\times f_2+\cdots +x_k\times f_k$.

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : une valeur très grande ou très petite peut la faire varier fortement.

4. La médiane

La médiane $M$ est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Méthode : on range les valeurs dans l'ordre croissant.

• Si l'effectif total $n$ est impair, la médiane est la valeur du rang $\frac{n+1}{2}$.
• Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs des rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$.

Contrairement à la moyenne, la médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes.

5. Les quartiles

Les quartiles permettent de partager la série ordonnée en quatre groupes de même effectif.

• Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\%$ des données lui soient inférieures ou égales.
• Le deuxième quartile $Q_2$ est la médiane ($50\%$).
• Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75\%$ des données lui soient inférieures ou égales.

L'écart interquartile est $Q_3-Q_1$. Plus il est grand, plus les données sont dispersées autour de la médiane.

6. L'étendue

L'étendue d'une série est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale :

C'est un indicateur de dispersion simple, mais très sensible aux valeurs extrêmes.

7. Diagrammes et représentations graphiques

En 4ème, plusieurs types de représentations sont utilisés :

• Diagramme en bâtons : adapté aux séries à valeurs peu nombreuses, les hauteurs des bâtons représentent les effectifs ou fréquences.
• Diagramme circulaire (camembert) : les secteurs angulaires sont proportionnels aux fréquences. L'angle d'un secteur vaut $f_i\times 360°$.
• Histogramme : utilisé pour des données regroupées en classes. L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou fréquence) de la classe.
• Diagramme en boîte (boîte à moustaches) : représente graphiquement $x_{\min }$, $Q_1$, $M$, $Q_3$ et $x_{\max }$.

8. Données regroupées en classes

Lorsque les valeurs sont très nombreuses, on les regroupe en classes de la forme $[a;b[$. L'amplitude d'une classe est $b-a$.

On calcule alors la fréquence de chaque classe et on peut représenter la série par un histogramme. Pour estimer la moyenne, on utilise le centre de classe $c_i=\frac{a+b}{2}$ comme valeur représentative.