Repérage dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

1. Le repère orthogonal du plan

Un repère orthogonal est formé par deux droites perpendiculaires qui se croisent en un point appelé l'origine O. La droite horizontale est l'axe des abscisses (axe des $x$ ) et la droite verticale est l'axe des ordonnées (axe des $y$ ). Lorsque les deux axes ont la même unité de longueur, on parle de repère orthonormal.

2. Coordonnées d'un point

Dans un repère, tout point $M$ du plan est caractérisé par un couple de nombres $(x; y)$ appelés ses coordonnées. Le premier nombre $x$ est l'abscisse de $M$ , le second $y$ est l'ordonnée de $M$ . On note $M (x; y)$ .

Pour lire les coordonnées d'un point, on lit d'abord la valeur sur l'axe des abscisses (déplacement horizontal), puis la valeur sur l'axe des ordonnées (déplacement vertical).

Le point origine O a pour coordonnées $(0; 0)$ . Tout point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle. Tout point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle.

3. Les quatre quadrants du plan

Les deux axes divisent le plan en quatre régions appelées quadrants, numérotés de I à IV dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Quadrant I : $x > 0$ et $y > 0$ (en haut à droite).
Quadrant II : $x < 0$ et $y > 0$ (en haut à gauche).
Quadrant III : $x < 0$ et $y < 0$ (en bas à gauche).
Quadrant IV : $x > 0$ et $y < 0$ (en bas à droite).

4. Distance entre deux points

Dans un repère orthonormal, la distance entre deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ est donnée par la formule issue du théorème de Pythagore :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Cette formule permet de calculer exactement la longueur d'un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités.

5. Milieu d'un segment

Le milieu $I$ du segment $[A B]$ , avec $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , a pour coordonnées :

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

Les coordonnées du milieu sont les moyennes arithmétiques des coordonnées des deux extrémités.

6. Alignement de trois points et configurations géométriques

Le repérage dans le plan permet de vérifier des propriétés géométriques par le calcul. On peut notamment :

• Vérifier si trois points sont alignés en calculant les milieux ou en étudiant les longueurs.
• Reconnaître la nature d'un triangle (isocèle, équilatéral, rectangle) en comparant les longueurs de ses côtés calculées par la formule des distances.
• Vérifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme en montrant que les diagonales ont le même milieu.

7. Symétrie centrale et repérage

Dans un repère, le symétrique d'un point $A (x_{A}; y_{A})$ par rapport à un centre $Ω (x_{Ω}; y_{Ω})$ est le point $A^{'}$ tel que $Ω$ est le milieu de $[A A^{'}]$ . Ses coordonnées sont :

A^{'} (2 x_{Ω} - x_{A}; 2 y_{Ω} - y_{A})

En particulier, le symétrique de $A (x_{A}; y_{A})$ par rapport à l'origine O est le point $A^{'} (- x_{A}; - y_{A})$ .

8. Symétrie axiale et repérage

Dans un repère orthonormal :
• Le symétrique d'un point $A (x_{A}; y_{A})$ par rapport à l'axe des abscisses est $A^{'} (x_{A}; - y_{A})$ .
• Le symétrique d'un point $A (x_{A}; y_{A})$ par rapport à l'axe des ordonnées est $A^{'} (- x_{A}; y_{A})$ .
Ces résultats permettent de placer rapidement les symétriques de points connus.

🔑 Formules clés à retenir

Coordonnées d'un point : $M (x; y)$ où $x$ est l'abscisse et $y$ est l'ordonnée.
Origine : $O (0; 0)$ — l'intersection des deux axes.
Distance entre deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ dans un repère orthonormal : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Milieu $I$ du segment $[A B]$ : $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Symétrique de $A (x_{A}; y_{A})$ par rapport au centre $Ω (x_{Ω}; y_{Ω})$ : $A^{'} (2 x_{Ω} - x_{A}; 2 y_{Ω} - y_{A})$
Symétrique par rapport à l'axe des abscisses : $A (x_{A}; y_{A}) ⟶ A^{'} (x_{A}; - y_{A})$
Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : $A (x_{A}; y_{A}) ⟶ A^{'} (- x_{A}; y_{A})$
Parallélogramme : $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu.

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Abscisse avant ordonnée : Pour retenir l'ordre du couple $(x; y)$ , rappelle-toi que l'alphabet place $x$ avant $y$ , et qu'on lit un repère comme on lit un texte : d'abord horizontalement (abscisse), puis verticalement (ordonnée). Astuce : « Je marche avant de monter ».
Piège sur la formule de distance : La formule $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ est valable uniquement dans un repère orthonormal (axes perpendiculaires et même unité). Ne l'utilise pas si l'unité n'est pas la même sur les deux axes !
Milieu = moyenne : Pour les coordonnées du milieu, on fait simplement la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Inutile de mémoriser une formule compliquée : additionner et diviser par 2.
Piège sur le symétrique central : Le symétrique de $A$ par rapport à un centre $Ω$ n'est pas $(- x_{A}; - y_{A})$ en général — cette formule n'est vraie que si le centre est l'origine O. Pour un centre quelconque, on utilise la formule du milieu : $Ω$ est le milieu de $[A A^{'}]$ , donc $x_{A^{'}} = 2 x_{Ω} - x_{A}$ .
Vérifier un parallélogramme efficacement : Plutôt que de calculer les quatre longueurs des côtés, il est plus rapide de montrer que les deux diagonales ont le même milieu. Un calcul de milieu est bien plus simple qu'un calcul de distance (pas de racine carrée !).

Repérage dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Lumaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

17 exercices

Abscisse et ordonnée du point B(-3 ; 4)

Facile

Énoncé

Le point B a pour coordonnées (−3 ; 4). Quelles sont ses abscisses et ordonnées ?

Ma réponse

Repérage dans le plan

Repérage dans le plan — Résumé de cours

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Contenu du cours

1. Le repère orthogonal du plan

2. Coordonnées d'un point

3. Les quatre quadrants du plan

4. Distance entre deux points

5. Milieu d'un segment

6. Alignement de trois points et configurations géométriques

7. Symétrie centrale et repérage

8. Symétrie axiale et repérage

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Calculer la distance entre deux points et déterminer la nature d'un triangle

Méthode 2 : Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme grâce aux milieux

Repérage dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Abscisse et ordonnée du point B(-3 ; 4)

Identification des quadrants

Milieu d'un segment

Trouver l'origine d'un point

Coordonnées du point B(-1 ; 4)

Lire des coordonnées

Distance entre A(1;1) et B(4;5)

Placer un point sur un axe gradué

Placer un point sur l'axe gradué

Determiner le quadrant de plusieurs points

Coordonnees a partir d'une description

Lecture d'ordonnee sur l'axe des abscisses

Symetrique par rapport a l'origine

Trouver une abscisse pour une distance donnee

Symetrique par rapport aux axes

Lire des coordonnées dans un repère orthonormé

Placer des points et lire un milieu

Exercices Intermédiaires

Coordonnées d'un point

Alignement de trois points

Périmètre d'un triangle

Déterminer le quadrant d'un point

Trouver un point à partir du milieu

Problème avec des coordonnées

Comparer des points

Reconnaître une figure

Alignement par les milieux

Distance a l'origine et cercle

Le quatrieme sommet d'un rectangle

Le quatrieme sommet d'un parallelogramme decale

Retrouver une extremite connaissant le milieu

Symetrique par rapport a un centre quelconque

Triangle isocele par le calcul des cotes

Comparer deux trajets sur une carte

Coordonnées du milieu par le calcul

Longueurs sur les axes et périmètre

Exercices Difficiles

Carré — trouver les sommets et les diagonales

Centre d'un carré

Repérage de points

Calcul de coordonnées

Démonstration de la position relative de deux points

Distance, milieu et quadrant de A(2;3) et B(-4;-1)

Repérage et calcul de coordonnées

Non-alignement de trois points

Carre reconnu par cotes et diagonales

Reconnaitre un rectangle par ses diagonales

Perimetre d'un triangle par les distances

Triangle rectangle par la reciproque de Pythagore

Losange verifie par les cotes

Quatrième sommet d'un parallélogramme

Reconnaître un carré dans un repère

Exercices supplémentaires

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Quiz — Repérage dans le plan

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé