Un observateur est à une distance de 50 m de la base d'un minaret. Il regarde le sommet du minaret avec un angle d'élévation de 60${}^{\circ }$ (angle entre l'horizontal et la direction du regard).

1. Schématiser la situation (triangle rectangle).
2. Calculer la hauteur du minaret (valeur exacte et approchée).
3. Si l'observateur recule de 30 m (est maintenant à 80 m), calculer le nouvel angle d'élévation.

1. Vérifier que si ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$ pour $\theta =30^{\circ }$ (utiliser les valeurs exactes).
2. Dans un triangle rectangle, si $\tan (A)=4/3$, calculer $\sin (A)$ et $\cos (A)$ sans calculatrice.
3. Un toit incliné à $25^{\circ }$ couvre une longueur horizontale de 6 m. Calculer la longueur de la pente du toit.

1. Hauteur d'un arbre : Un observateur se trouve à 20 m d'un arbre. L'angle d'élévation du sommet de l'arbre est de $40^{\circ }$. Calculer la hauteur de l'arbre. ($\sin 40^{\circ }$ ≈ 0,643, $\cos 40^{\circ }$ ≈ 0,766, $\tan 40^{\circ }$ ≈ 0,839)
2. Pente d'une route : Une route monte sur 500 m de longueur avec un angle de $8^{\circ }$ par rapport à l'horizontale. Quelle est la dénivelée (hauteur gagnée) ? ($\sin 8^{\circ }$ ≈ 0,139)
3. Dans un triangle rectangle ABC (angle droit en C), $AB=13$ cm et $BC=5$ cm. Calculer l'angle B en degrés.

Un élève veut mesurer la hauteur d'un arbre en utilisant un triangle rectangle formé par l'arbre, le sol et une ligne de vue. Il se tient à 15 m de la base de l'arbre et mesure un angle de 45${}^{\circ }$. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

Depuis un point O, on observe deux sommets A et B d'une montagne. L'angle de visée de A depuis O est 30${}^{\circ }$ et la distance OA = 500 m. La distance horizontale OB = 800 m.

1. Calculer la hauteur de A au-dessus de O. (sin 30${}^{\circ }$ = 0,5, cos 30${}^{\circ }$ ≈ 0,866)
2. Si l'angle de visée de B est 20${}^{\circ }$ et OB représente la distance inclinée, calculer la hauteur de B. (sin 20${}^{\circ }$ ≈ 0,342)
3. Quelle est la différence de hauteur entre A et B ?

Dans un triangle rectangle ABC, l'angle A mesure 60${}^{\circ }$ et l'hypoténuse BC mesure 15 cm. Calculez les longueurs des côtés opposé AC et adjacent AB, ainsi que les valeurs de sin(A), cos(A), et tan(A).

Dans un triangle rectangle ABC, montrez que tan(A) = sin(A) / cos(A) en utilisant les définitions des rapports trigonométriques.

Dans un triangle rectangle PQR avec l'angle P, démontrez que tan(P) = sin(P) / cos(P).

Un versant de toit est modelise par un triangle rectangle : l'angle droit est au sommet $B$, la base horizontale $AB=4,5$ m et la hauteur verticale $BC=2,6$ m. Le versant lui-meme est le côté $AC$.

1) Calcule l'angle de pente $\widehat{BAC}$ (arrondi au degré). 2) Calcule la longueur du versant $AC$ (arrondie au dixieme de m) et vérifie ta réponse avec le théorème de Pythagore.

Depuis un point $O$ au sol, on vise le sommet $S$ d'un pylone vertical. La verticale du pylone touche le sol au point $P$, avec un angle droit en $P$. On mesure l'angle d'élévation $\widehat{SOP}=26^{\circ }$ et la hauteur $SP=30$ m.

Calcule la distance $OP$ entre l'observateur et le pied du pylone. Arrondis au dixieme de m.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. On donne $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ et l'hypoténuse $AC=10$ cm.

Calcule la valeur exacte de $BC$ (côté opposé a $\widehat{BAC}$), puis donne sa valeur arrondie au dixieme de cm.

Le triangle $GHK$ est rectangle en $H$. On donne $\widehat{HGK}=38^{\circ }$ et $GH=9$ cm.

Calcule la longueur $HK$, puis l'hypoténuse $GK$ et enfin l'angle $\widehat{HKG}$. Arrondis les longueurs au dixieme de cm et les angles au degré.

Dans un triangle rectangle, un angle aigu $\hat{A}$ vérifie $\cos (\hat{A})=\frac{3}{5}$.

En utilisant l'identité ${\cos }^2(\hat{A})+{\sin }^2(\hat{A})=1$, calcule la valeur exacte de $\sin (\hat{A})$, puis celle de $\tan (\hat{A})$.

Une échelle est appuyée contre un mur vertical. Elle forme un angle de $70^{\circ }$ avec le sol horizontal. Le pied de l'échelle est posé à $1,2$ m du bas du mur.

[Figure : échelle $[AC]$ appuyée contre un mur ; le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ (coin sol-mur), $\widehat{BAC}=70^{\circ }$ et $AB=1,2$ m au sol.]

1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, préciser, pour l'angle $\widehat{BAC}$, le côté adjacent et l'hypoténuse.

2. Calculer la longueur de l'échelle, c'est-à-dire $AC$. Arrondir au centimètre près.

$MNP$ est un triangle rectangle en $N$ tel que $MN=6$ cm et $NP=8$ cm.

[Figure : triangle $MNP$ rectangle en $N$, avec $MN=6$ cm et $NP=8$ cm.]

1. Calculer la longueur de l'hypoténuse $MP$.

2. En utilisant le cosinus, calculer la mesure de l'angle $\widehat{NMP}$, arrondie au degré près.

3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{NPM}$.