1. Triangle rectangle : rappels et vocabulaire
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est toujours le plus grand côté du triangle. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit (ou cathètes).
Sur une figure, l'angle droit est indiqué par un petit carré. L'hypoténuse est toujours en face de ce carré.
2. Énoncé du théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans un triangle rectangle en :
où est l'hypoténuse (en face de l'angle droit en ).
3. Utilisation directe : calculer une longueur inconnue
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté manquant d'un triangle rectangle lorsque les deux autres côtés sont connus.
Calcul de l'hypoténuse : si on connaît et , on calcule .
Calcul d'un côté de l'angle droit : si on connaît (hypoténuse) et , on calcule .
On utilise la racine carrée pour obtenir une longueur (toujours positive).
4. Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle ou non, à partir de ses trois longueurs.
Si dans un triangle on a , alors le triangle est rectangle en .
Pour appliquer la réciproque, on commence toujours par identifier le plus grand côté (candidat à l'hypoténuse), puis on vérifie si l'égalité est satisfaite.
5. Contraposée du théorème de Pythagore
La contraposée permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Si dans un triangle on a , alors le triangle n'est pas rectangle en .
En pratique, si le calcul ne donne pas l'égalité, on conclut que le triangle n'est pas rectangle.
6. Triplets pythagoriciens
Certains triplets de nombres entiers vérifient la relation de Pythagore : on les appelle triplets pythagoriciens. Les plus courants au collège sont :
- car
- car
- car
- car
Connaître ces triplets permet de reconnaître rapidement un triangle rectangle dans un exercice.
7. Applications et contextes
Le théorème de Pythagore s'applique dans de nombreuses situations concrètes : calcul de la diagonale d'un rectangle, hauteur d'un triangle isocèle, distance entre deux points dans un repère, problèmes de construction ou de géographie.
Dans un repère orthogonal, la distance entre deux points et se calcule grâce à Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par , et le point auxiliaire :