Fonctions linéaires et affines — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Notion de fonction

Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre $x$ un unique nombre, noté $f (x)$ (lire « f de x »). On dit que $x$ est la variable et $f (x)$ est l'image de $x$ par $f$ . Si $f (x) = y$ , on dit aussi que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

On note : $x ⟼ f (x)$ et on écrit par exemple $f : x \mapsto 3 x + 2$ .

2. Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme :

f (x) = a x

où $a$ est un nombre réel appelé le coefficient de proportionnalité (ou coefficient directeur). La variable $x$ est multipliée par $a$ .

Exemples : $f (x) = 3 x$ , $g (x) = - 2 x$ , $h (x) = \frac{1}{2} x$ .

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère $O (0; 0)$ .

3. Fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme :

f (x) = a x + b

où $a$ est le coefficient directeur (ou pente) et $b$ est l'ordonnée à l'origine. Lorsque $b = 0$ , la fonction affine est une fonction linéaire.

Exemples : $f (x) = 2 x + 3$ , $g (x) = - x + 5$ , $h (x) = \frac{3}{4} x - 1$ .

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite (qui ne passe pas nécessairement par l'origine).

4. Représentation graphique dans un repère

Pour tracer la droite représentant une fonction affine $f (x) = a x + b$ , il suffit de calculer deux points puis de les relier.

On choisit deux valeurs de $x$ , on calcule les images correspondantes, on place les points dans le repère et on trace la droite.

Le point de coordonnées $(0; b)$ est toujours sur la droite : c'est l'intersection avec l'axe des ordonnées.

5. Sens de variation d'une fonction affine

Le coefficient directeur $a$ détermine le sens de variation de la fonction affine $f (x) = a x + b$ :

Si $a > 0$ : la fonction est croissante (la droite monte de gauche à droite).
Si $a < 0$ : la fonction est décroissante (la droite descend de gauche à droite).
Si $a = 0$ : la fonction est constante (la droite est horizontale), $f (x) = b$ .

6. Lire un coefficient directeur et une ordonnée à l'origine sur un graphique

À partir d'une droite tracée dans un repère, on peut identifier :

L'ordonnée à l'origine $b$ : valeur de $y$ lorsque $x = 0$ (point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
Le coefficient directeur $a$ : en choisissant deux points distincts $A (x_{1}; y_{1})$ et $B (x_{2}; y_{2})$ de la droite, on calcule $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

7. Déterminer l'expression d'une fonction affine

Pour trouver l'expression $f (x) = a x + b$ d'une fonction affine, il faut deux informations (deux points par lesquels passe la droite, ou un point et le coefficient directeur). On résout alors un système d'équations pour trouver $a$ et $b$ .

8. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

La solution de l'équation $f (x) = k$ correspond à l'abscisse du point de la droite ayant pour ordonnée $k$ . Graphiquement, on trace la droite horizontale d'équation $y = k$ et on lit l'abscisse du point d'intersection.

Pour résoudre $f (x) = g (x)$ , on cherche l'abscisse du point d'intersection des deux droites représentatives de $f$ et $g$ .

🔑 Formules clés à retenir

Fonction linéaire : $f (x) = a x$ , avec $a \in R$ (coefficient directeur). Sa courbe passe par $O (0; 0)$ .
Fonction affine : $f (x) = a x + b$ , avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.
Image de $x$ : $f (x) = a x + b$ — on remplace $x$ par la valeur donnée pour calculer l'image.
Antécédent de $y$ : on résout l'équation $a x + b = y$ pour trouver $x$ .
Coefficient directeur à partir de deux points : $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
Ordonnée à l'origine : $b = f (0)$ (valeur de la fonction en $x = 0$ ).
Sens de variation : $a > 0 \Rightarrow$ croissante ; $a < 0 \Rightarrow$ décroissante ; $a = 0 \Rightarrow$ constante.
Équation de droite passant par l'origine : $y = a x$ (cas particulier avec $b = 0$ ).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Linéaire = « L » comme « L'Origine » : une fonction linéaire passe toujours par l'origine $O (0; 0)$ . Si $b \neq = 0$ , ce n'est plus linéaire mais affine.
Piège sur le signe de $a$ : attention, si $f (x) = - 3 x + 2$ , le coefficient directeur est $a = - 3$ (négatif), donc la droite est décroissante. Ne pas confondre avec $b = 2$ qui est positif.
Deux points suffisent : pour tracer une droite, deux points bien choisis suffisent. Astuce : toujours calculer $f (0) = b$ (facile !) et $f (1) = a + b$ comme premiers points.
Piège sur l'antécédent vs l'image : « l'image de $3$ » signifie calculer $f (3)$ (on remplace $x$ par $3$ ) ; « l'antécédent de $3$ » signifie résoudre $f (x) = 3$ (on cherche $x$ ). Ne pas les inverser !
Coefficient directeur = « vitesse » de la droite : plus $∣ a ∣$ est grand, plus la droite est « pentue ». Si $a = 0$ , la droite est horizontale (fonction constante).

Fonctions linéaires et affines — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

13 exercices

Calcul de la fonction linéaire

Facile

Énoncé

Soit la fonction $f$ définie par $f (x) = 3 x$ . Calculez $f (2)$ .

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Fonctions linéaires et affines

Fonctions linéaires et affines — Résumé de cours

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Contenu du cours

1. Notion de fonction

2. Fonction linéaire

3. Fonction affine

4. Représentation graphique dans un repère

5. Sens de variation d'une fonction affine

6. Lire un coefficient directeur et une ordonnée à l'origine sur un graphique

7. Déterminer l'expression d'une fonction affine

8. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthode 1 — Tracer la représentation graphique d'une fonction affine

Méthode 2 — Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points

Fonctions linéaires et affines — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calcul de la fonction linéaire

Fonction constante

Antécédent d'une valeur

Image d'un nombre

Antécédent d'un nombre

Image d'un nombre par une fonction

Détermination du coefficient directeur

Tableau de valeurs et lecture graphique

Facture d'electricite proportionnelle

Coefficient a partir d'un couple

Image et antecedent avec une fonction lineaire

Reconnaitre lineaire ou affine

Distance parcourue a vitesse constante

Exercices Intermédiaires

Graphique d'une fonction décroissante

Résolution d'une équation avec une fonction affine

Prix de l'essence : 8 litres pour 104 €

Prix des oranges en fonction du poids en kg

Fonctions linéaires et affines — comparaison

Déterminer une fonction depuis son graphe

Ordonnée à l'origine de f(x) = 2x + 3

Comparer des fonctions

Prix des oranges à 5 € le kilo (calcul pour 8 kg)

Résoudre une équation

Utilisation d'une fonction pour un budget

Résolution d'une équation

Images et antécédent avec g(x) = 2x + 3

Coût total d'un produit à 20 € l'unité

Ordonnée à l'origine de f(x) = 3x + 2

Hausse de 15 pour cent comme fonction

Baisse de 20 pour cent lors des soldes

Deux fonctions affines a comparer

Coefficient a partir de deux points

Conversion de miles en kilometres

Recette d'une buvette

Exercices Difficiles

Interprétation graphique

Interprétation d'une fonction dans un contexte économique

Pente et vente de produits avec f(x) = 2x - 3

Équivalence entre deux fonctions

Économie d'eau dans un jardin

Problème de proportions

Comparaison de salaires de deux employés

Analyse de la pente d'une fonction affine

Problème de proportionnalité et fonction

Problème de coûts

Problème de distance entre deux villes

Problème avancé : abonnement et consommation

Remplissage d'une citerne

Deux formules d'abonnement a une salle de sport

Tarif d'un taxi

Deux hausses successives

Exercices supplémentaires

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Quiz — Fonctions linéaires et affines

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