1. Définition de la racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On la note $\sqrt{a}$.

Autrement dit : $\sqrt{a}=b$ signifie que $b\ge 0$ et $b^2=a$.

Exemples : $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ ; $\sqrt{25}=5$ car $5^2=25$ ; $\sqrt{0}=0$.

La racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. L'expression $\sqrt{-4}$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}$.

2. Carrés parfaits

Un carré parfait est un entier qui est le carré d'un entier. La racine carrée d'un carré parfait est un entier.

Il est utile de connaître les carrés parfaits usuels :

$0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,\dots$

Ainsi : $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{196}=14$, $\sqrt{225}=15$.

3. Racines carrées et nombres irrationnels

Lorsqu'un nombre n'est pas un carré parfait, sa racine carrée est un nombre irrationnel : il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Son écriture décimale est infinie et non périodique.

Par exemple : $\sqrt{2}\approx 1,414\dots$, $\sqrt{3}\approx 1,732\dots$, $\sqrt{5}\approx 2,236\dots$

Ces nombres appartiennent à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$.

4. Propriétés de la racine carrée — produit et quotient

Pour tous réels $a\ge 0$ et $b\ge 0$ :

Propriété du produit : $$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$$

Propriété du quotient : Pour $b>0$, $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Exemples : $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$ ; $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$.

5. Simplification des racines carrées

Simplifier une racine carrée consiste à écrire $\sqrt{a}$ sous la forme $k\sqrt{b}$ où $k$ est un entier et $b$ est le plus petit entier possible (sans carré parfait comme facteur).

Méthode : on cherche le plus grand carré parfait qui divise $a$.

Exemples : $\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}$ ; $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}$.

6. Propriété fondamentale : $\sqrt{a^2}=a$ et ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$

Pour tout réel $a\ge 0$ :

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a\text{et}\sqrt{a^2}=a$$

Attention : Si $a$ peut être négatif, alors $\sqrt{a^2}=|a|$ (valeur absolue), car $\sqrt{\cdot }$ est toujours positive.

Exemple : $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$, et non $-3$.

7. Comparaison et encadrement de racines carrées

La fonction racine carrée est croissante : si $0\le a\le b$ alors $\sqrt{a}\le \sqrt{b}$.

Pour encadrer $\sqrt{a}$, on cherche deux carrés parfaits consécutifs encadrant $a$ :

Si $n^2\le a\le (n+1{)}^2$, alors $n\le \sqrt{a}\le n+1$.

Exemple : $25\le 30\le 36$ donc $5\le \sqrt{30}\le 6$.

8. Addition et soustraction de racines carrées

On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même radicande (le nombre sous la racine). On factorise alors comme des termes semblables.

$$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a}$$

Exemple : $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ ; en revanche $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ne se simplifie pas.

Il peut être nécessaire de simplifier d'abord chaque racine pour détecter des termes semblables : $\sqrt{12}+\sqrt{75}=2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$.