Version Bêta · Lancement officiel le 28 août 2026 Signaler un bug

Équations du premier degré

معادلات الدرجة الأولى

Cours complet inclus 50 exercices interactifs PDF téléchargeable Partager

Équations du premier degré — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui contient une inconnue (souvent notée ) apparaissant uniquement à la puissance 1. Elle se présente sous la forme générale :

où , , , sont des nombres connus. Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Cette valeur s'appelle la solution de l'équation.

2. Notion d'équivalence et de membre

Une équation possède deux membres séparés par le signe égal :

  • le membre gauche (à gauche du signe )
  • le membre droit (à droite du signe )

Deux équations sont dites équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. On note cette équivalence avec le symbole . Les transformations qui conservent l'équivalence sont autorisées lors de la résolution.

3. Règles de transformation d'une équation

On peut effectuer les opérations suivantes sur une équation sans changer ses solutions :

  • Ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres.
  • Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Ces règles permettent d'isoler progressivement l'inconnue d'un côté de l'égalité.

4. Résolution d'une équation du premier degré

La méthode générale consiste à :

  1. Développer et réduire chaque membre si nécessaire.
  2. Regrouper les termes en d'un même côté et les termes constants de l'autre côté, grâce aux règles de transformation.
  3. Isoler en divisant par le coefficient de .

Exemple : Résoudre

5. Vérification de la solution

Il est indispensable de vérifier la solution obtenue en la substituant dans l'équation de départ. Si les deux membres donnent le même résultat, la solution est correcte.

Exemple : Pour dans :

  • Membre gauche :
  • Membre droit : ✓

6. Équations avec développement et réduction

Certaines équations nécessitent d'abord de développer les expressions (utilisation de la distributivité) avant de résoudre.

Exemple : Résoudre

7. Mise en équation d'un problème

Les équations permettent de modéliser des situations concrètes. La démarche est :

  1. Choisir une inconnue et préciser ce qu'elle représente (avec son unité).
  2. Traduire les conditions du problème par une équation.
  3. Résoudre l'équation.
  4. Interpréter la solution dans le contexte du problème et vérifier sa cohérence.

8. Cas particuliers

Lors de la résolution, on peut rencontrer deux cas particuliers :

  • Aucune solution : si on aboutit à une égalité fausse comme , l'équation n'a pas de solution.
  • Infinité de solutions : si on aboutit à une égalité toujours vraie comme , tout réel est solution de l'équation.

🔑 Formules clés à retenir

  • Forme générale d'une équation du premier degré : où , , , et est l'inconnue.
  • Règle d'addition/soustraction : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres :
  • Règle de multiplication/division : On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre : et
  • Forme réduite : Toute équation du premier degré se ramène à la forme , dont la solution est (avec ).
  • Distributivité (rappel) : et
  • Définition de solution : est solution de si et seulement si .
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

  • 🔄 « Ce qui change de membre change de signe » : quand on fait passer un terme d'un côté à l'autre de l'égalité, son signe change. Par exemple, à gauche devient à droite. C'est une façon rapide de voir la règle de soustraction appliquée aux deux membres.
  • ⚠️ Piège de la distributivité avec un signe moins : attention à qui donne et non . Le signe devant la parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur.
  • ✅ Toujours vérifier : après avoir trouvé une solution, remplacez par sa valeur dans l'équation de départ (pas une étape intermédiaire). Si les deux membres sont égaux, la solution est bonne. Cette étape évite les erreurs de calcul.
  • 📐 Bien interpréter dans les problèmes : une solution négative peut être mathématiquement correcte mais incohérente dans un problème (par exemple, une longueur ou un nombre d'objets ne peut pas être négatif). Toujours relire l'énoncé après résolution.
  • 🎯 Ordre des étapes à respecter : d'abord développer, puis réduire, puis regrouper les d'un côté et les nombres de l'autre, enfin diviser. Sauter une étape est la principale source d'erreurs.