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Inégalités

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Cours complet

Contenu du cours

1. Notion d'inégalité

Une inégalité est une relation mathématique qui compare deux expressions à l'aide des symboles :

  • : strictement inférieur à
  • : strictement supérieur à
  • : inférieur ou égal à
  • : supérieur ou égal à

Exemple : ou .

2. Représentation sur une droite numérique

On peut représenter un ensemble de solutions sur une droite graduée. On utilise :

  • Un crochet fermé ou (ou un point plein •) lorsque la valeur est incluse (symboles ou ).
  • Un crochet ouvert ou (ou un point creux ○) lorsque la valeur est exclue (symboles ou ).

Exemple : l'ensemble des tels que se représente par un crochet ouvert en , avec une flèche vers la droite.

3. Propriétés des inégalités — Addition et soustraction

On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité.

Si , alors pour tout réel :

Exemple : si , alors (on ajoute des deux côtés).

4. Propriétés des inégalités — Multiplication et division

Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre positif conserve le sens de l'inégalité.

Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exemple : si , alors en divisant par (négatif) : .

5. Résolution d'une inégalité du premier degré

Résoudre une inégalité, c'est trouver toutes les valeurs de qui la vérifient. On effectue les mêmes opérations que pour une équation, en prenant garde à inverser le signe lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.

L'ensemble des solutions est souvent un intervalle.

Exemple : résoudre

donc . L'ensemble des solutions est .

6. Notion d'intervalle

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. On note :

  • : tous les réels tels que (bornes incluses)
  • : tous les réels tels que (bornes exclues)
  • : tous les réels tels que
  • : tous les réels tels que

Attention : et ne sont jamais inclus, on utilise toujours un crochet ouvrant avec eux.

7. Encadrement et valeurs approchées

Un encadrement d'un nombre à l'unité près s'écrit est un entier.

On peut encadrer des expressions : si , alors .

Les inégalités permettent aussi de justifier des valeurs approchées ou de comparer des grandeurs sans calcul exact.

🔑 Formules clés à retenir

  • Conservation du sens : si et , alors
  • Multiplication par un positif : si et , alors
  • Multiplication par un négatif (inversion !) : si et , alors
  • Division par un positif : si et , alors
  • Division par un négatif (inversion !) : si et , alors
  • Intervalle fermé :
  • Intervalle ouvert :
  • Demi-droite :
  • Encadrement à l'unité près : , où
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

  • Le piège du signe négatif : C'est l'erreur la plus fréquente ! Dès que tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, tu dois inverser le sens de l'inégalité. Moyen mnémotechnique : « négatif = je retourne le signe ».
  • Crochet ouvert ou fermé ? Associe le crochet fermé aux symboles avec un trait en dessous (, ) — le trait « ferme » la porte. Le crochet ouvert ou va avec les symboles stricts (, ) — la valeur est « dehors ».
  • est toujours avec un crochet ouvert : On n'atteint jamais l'infini, donc on écrit toujours ou , jamais avec un crochet fermé.
  • Vérification rapide : Après avoir trouvé la solution, teste une valeur simple. Par exemple, si tu trouves , teste dans l'inégalité de départ pour vérifier que c'est bien vérifié, et teste pour vérifier que ce n'est pas vérifié.
  • Inégalité ≠ équation : Une équation a en général un nombre fini de solutions ; une inégalité a en général une infinité de solutions formant un intervalle. Ne cherche pas « une » valeur, cherche un ensemble !