1. Notion d'inégalité
Une inégalité est une relation mathématique qui compare deux expressions à l'aide des symboles :
- : strictement inférieur à
- : strictement supérieur à
- : inférieur ou égal à
- : supérieur ou égal à
Exemple : ou .
2. Représentation sur une droite numérique
On peut représenter un ensemble de solutions sur une droite graduée. On utilise :
- Un crochet fermé ou (ou un point plein •) lorsque la valeur est incluse (symboles ou ).
- Un crochet ouvert ou (ou un point creux ○) lorsque la valeur est exclue (symboles ou ).
Exemple : l'ensemble des tels que se représente par un crochet ouvert en , avec une flèche vers la droite.
3. Propriétés des inégalités — Addition et soustraction
On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité.
Si , alors pour tout réel :
Exemple : si , alors (on ajoute des deux côtés).
4. Propriétés des inégalités — Multiplication et division
Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre positif conserve le sens de l'inégalité.
Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Exemple : si , alors en divisant par (négatif) : .
5. Résolution d'une inégalité du premier degré
Résoudre une inégalité, c'est trouver toutes les valeurs de qui la vérifient. On effectue les mêmes opérations que pour une équation, en prenant garde à inverser le signe lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.
L'ensemble des solutions est souvent un intervalle.
Exemple : résoudre
donc . L'ensemble des solutions est .
6. Notion d'intervalle
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. On note :
- : tous les réels tels que (bornes incluses)
- : tous les réels tels que (bornes exclues)
- : tous les réels tels que
- : tous les réels tels que
Attention : et ne sont jamais inclus, on utilise toujours un crochet ouvrant avec eux.
7. Encadrement et valeurs approchées
Un encadrement d'un nombre à l'unité près s'écrit où est un entier.
On peut encadrer des expressions : si , alors .
Les inégalités permettent aussi de justifier des valeurs approchées ou de comparer des grandeurs sans calcul exact.