Symétrie centrale — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

1. Définition de la symétrie centrale

Deux points $A$ et $A^{'}$ sont symétriques par rapport à un point $O$ (appelé centre de symétrie) si $O$ est le milieu du segment $[A A^{'}]$ .

On dit que $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport au centre $O$ , et on note cette transformation symétrie centrale de centre $O$ .

Le point $O$ lui-même est son propre symétrique : le symétrique de $O$ par rapport à $O$ est $O$ .

2. Construction du symétrique d'un point

Pour construire le symétrique $A^{'}$ d'un point $A$ par rapport à un centre $O$ , on utilise la propriété que $O$ est le milieu de $[A A^{'}]$ :

On trace le segment $[A O]$ et on le prolonge de l'autre côté de $O$ de la même longueur. Le point obtenu est $A^{'}$ , tel que $O A^{'} = O A$ .

On peut aussi utiliser un quadrillage en comptant le même nombre de carreaux de $A$ vers $O$ , puis de $O$ dans la même direction.

3. Symétrique d'une figure

Le symétrique d'une figure par rapport à un point $O$ est l'ensemble des symétriques de tous les points de cette figure.

Pour construire le symétrique d'un polygone, il suffit de construire le symétrique de chacun de ses sommets, puis de relier ces images dans le même ordre.

Le symétrique d'un segment est un segment, le symétrique d'un triangle est un triangle, etc.

4. Propriétés de la symétrique centrale

La symétrie centrale conserve les propriétés géométriques suivantes :

• Les longueurs : si $A^{'}$ est le symétrique de $A$ et $B^{'}$ celui de $B$ , alors $A^{'} B^{'} = A B$ .

• Les angles : les angles sont conservés en mesure.

• Les aires : une figure et son image ont la même aire.

• Le parallélisme : si deux droites sont parallèles, leurs symétriques le sont aussi.

La symétrie centrale est une isométrie : elle conserve les distances et les formes.

5. Figure ayant un centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie si elle coïncide avec elle-même par symétrie centrale par rapport à ce point.

Exemples de figures ayant un centre de symétrie :

• Le cercle (centre de symétrie : son centre)

• Le rectangle (centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales)

• Le losange (centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales)

• Le parallélogramme (centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales)

• La lettre S, la lettre Z, etc.

Attention : le triangle et le carré n'ont pas de centre de symétrie (le carré possède des axes de symétrie, mais pas de centre de symétrie).

6. Lien avec le milieu et les coordonnées

Si $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ , alors $O$ est le milieu de $[A A^{'}]$ . On peut utiliser la formule du milieu :

Si $O$ a pour coordonnées $(x_{O}; y_{O})$ et $A$ pour coordonnées $(x_{A}; y_{A})$ , alors le symétrique $A^{'}$ a pour coordonnées :

x_{A^{'}} = 2 x_{O} - x_{A} et y_{A^{'}} = 2 y_{O} - y_{A}

7. Différence avec la symétrie axiale

Il ne faut pas confondre symétrie centrale (par rapport à un point) et symétrie axiale (par rapport à une droite).

• En symétrie axiale, l'axe est une droite et le segment $[A A^{'}]$ est perpendiculaire à cet axe.

• En symétrie centrale, le centre est un point et $O$ est le milieu de $[A A^{'}]$ .

Une rotation de $180°$ autour d'un point $O$ produit le même résultat qu'une symétrie centrale de centre $O$ .

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ si et seulement si $O$ est le milieu de $[A A^{'}]$ , c'est-à-dire $O A = O A^{'}$ et $A$ , $O$ , $A^{'}$ sont alignés.
Conservation des distances : Si $A^{'}$ est le symétrique de $A$ et $B^{'}$ celui de $B$ par rapport à $O$ , alors $A^{'} B^{'} = A B$ .
Coordonnées du symétrique : Si $O (x_{O}; y_{O})$ et $A (x_{A}; y_{A})$ , alors $A^{'} (2 x_{O} - x_{A}; 2 y_{O} - y_{A})$ .
Milieu : $x_{O} = \frac{x _{A} + x _{A^{'}}}{2}$ et $y_{O} = \frac{y _{A} + y _{A^{'}}}{2}$
Centre de symétrie d'une figure : Un point $O$ est centre de symétrie d'une figure si la figure est invariante par la symétrie centrale de centre $O$ .
Symétrique de $O$ par rapport à $O$ : Le symétrique du centre $O$ par rapport à lui-même est $O$ .
Propriétés conservées : longueurs, angles, aires, parallélisme (la symétrie centrale est une isométrie).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Astuce du « demi-tour » : La symétrie centrale, c'est comme faire tourner la figure d'un demi-tour (180°) autour du centre $O$ . Imagine une roue qui fait un demi-tour : chaque point arrive de l'autre côté du centre.
Piège : centre ≠ axe : Ne pas confondre symétrie centrale (par rapport à un point) et symétrie axiale (par rapport à une droite). Toujours vérifier ce qu'on demande dans l'énoncé.
Astuce du quadrillage : Sur un quadrillage, pour trouver le symétrique de $A$ par rapport à $O$ , compte le nombre de carreaux horizontalement et verticalement de $A$ jusqu'à $O$ , puis continue le même chemin au-delà de $O$ : tu arrives en $A^{'}$ .
Piège du carré : Le carré possède des axes de symétrie mais n'a pas de centre de symétrie. En revanche, le rectangle et le losange en ont un. Vérifier toujours en testant si chaque point a bien son symétrique dans la figure.
Moyen mnémotechnique : « $O$ au milieu, toujours ! » — dans une symétrie centrale de centre $O$ , le point $O$ est toujours le milieu du segment reliant un point et son image. Si ce n'est pas le cas, c'est faux.

Symétrie centrale — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

19 exercices

Symétrie de points

Facile

Énoncé

Considérons le point A(2 ; 3) et le centre de symétrie O(0 ; 0). Trouvez le symétrique A' de A par rapport à O.

Ma réponse

Symétrie centrale

Symétrie centrale — Résumé de cours

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Contenu du cours

1. Définition de la symétrie centrale

2. Construction du symétrique d'un point

3. Symétrique d'une figure

4. Propriétés de la symétrique centrale

5. Figure ayant un centre de symétrie

6. Lien avec le milieu et les coordonnées

7. Différence avec la symétrie axiale

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Construire le symétrique d'un polygone par rapport à un point

Méthode 2 : Calculer les coordonnées du symétrique d'un point

Symétrie centrale — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Symétrie de points

Symétrique du segment [AB] par rapport à O

Symétrique de B dans un parc de Marrakech

Symétrie d'une figure

Symétrie et distances

Centre de symétrie d'un carré

Symétrique de M(4, 5) par rapport à O(2, 3)

Symétrique par rapport à un point quelconque

Point M' symétrique via centre O(2 ; 3)

Symétrique par rapport à l'origine

Longueur conservee par la symetrie

Deux figures et le nombre de centres

Symetrique d'un point de centre donne

Coordonnee sur l'axe des abscisses

Image d'un point par rapport a l'origine

Le centre est son propre symetrique

Retrouver le point de depart

Symetrique d'un point par rapport a un centre sur quadrillage

Reconnaitre symetrie centrale ou symetrie axiale

Exercices Intermédiaires

Construire le symétrique d'un segment

Problème de symétrie

Symétrie d'une figure complexe

Symétrique d'un triangle

Vérifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Coordonnées du symétrique

Trouver l'antécédent

Symétrique d'un triangle par rapport à un point extérieur

Symetrique du milieu d'un segment

Conservation de l'aire par symetrie

Image d'un triangle par symetrie centrale

Symetrique avec centre negatif

Retrouver le centre a partir des coordonnees

Symetrie centrale ou symetrie axiale

Aligner un point et son symetrique

Symetrique d'un segment et conservation des longueurs

Symetrique d'un triangle et conservation des angles

Exercices Difficiles

Symétrie dans un contexte géographique

Application pratique de la symétrie

Construction de figure complète

Application de la symétrie

Centre de symétrie d'un losange

Centre de symétrie d'un parallélogramme

Determiner si un point appartient a l'image

Diagonales et centre du parallelogramme

Composee de deux demi-tours

Symetrique d'un point d'une droite parallele

Image d'un carre place dans le repere

Antecedent d'un point par symetrie de centre quelconque

Centre de symetrie d'un parallelogramme

Construction du symetrique d'une figure et milieu commun

Exercices supplémentaires

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Quiz — Symétrie centrale

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