Nombres relatifs — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Notion de nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe. Il peut être positif (ex : $+ 5$ ), négatif (ex : $- 3$ ) ou nul ( $0$ ).

Les nombres relatifs permettent de représenter des situations opposées : une température de $- 8° C$ , une altitude de $+ 200$ m, une dette de $- 15$ €, etc.

L'ensemble des nombres relatifs est noté $Z$ . Il contient $N$ (les entiers naturels).

2. Repérage sur une droite graduée

Sur une droite graduée, les nombres positifs se placent à droite de zéro et les nombres négatifs à gauche. Plus un nombre est à droite, plus il est grand.

Ainsi, pour tout nombre négatif $a$ , on a $a < 0$ , et pour tout nombre positif $b$ , on a $b > 0$ .

3. Valeur absolue et opposé

La valeur absolue d'un nombre relatif $a$ , notée $∣ a ∣$ , est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.

Exemples : $∣ + 7∣ = 7$ , $∣ - 5∣ = 5$ , $∣0∣ = 0$ .

L'opposé d'un nombre $a$ est le nombre $- a$ . Deux nombres opposés ont la même valeur absolue et des signes contraires.

Exemple : l'opposé de $- 4$ est $+ 4$ ; l'opposé de $+ 9$ est $- 9$ .

4. Comparaison et ordre des nombres relatifs

Pour comparer deux nombres relatifs :

Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue (le plus proche de zéro).
Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple : $- 2 > - 7$ car $∣ - 2∣ = 2 < 7 = ∣ - 7∣$ , donc $- 2$ est plus proche de $0$ .

5. Addition et soustraction de nombres relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs :

Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.
Signes contraires : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on garde le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé :

a - b = a + (- b)

Exemples : $(- 3) + (- 5) = - 8$ ; $(- 3) + (+ 7) = + 4$ ; $6 - (- 2) = 6 + 2 = 8$ .

6. Multiplication et division de nombres relatifs

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on applique la règle des signes :

$+ \times + = +$ et $+ \div + = +$
$- \times - = +$ et $- \div - = +$
$+ \times - = -$ et $+ \div - = -$
$- \times + = -$ et $- \div + = -$

Exemple : $(- 4) \times (+ 3) = - 12$ ; $(- 6) \div (- 2) = + 3$ .

Remarque : le produit de deux nombres de même signe est toujours positif ; de signes contraires, toujours négatif.

7. Repérage dans le plan (coordonnées)

Dans un repère orthogonal $(O; I; J)$ , tout point $M$ est repéré par ses coordonnées $(x_{M}; y_{M})$ où $x_{M}$ est l'abscisse et $y_{M}$ est l'ordonnée. Ces coordonnées peuvent être des nombres relatifs.

Exemple : le point $A (- 3; + 2)$ se trouve à 3 unités à gauche de l'axe des ordonnées et 2 unités au-dessus de l'axe des abscisses.

🔑 Formules clés à retenir

Valeur absolue : $∣ a ∣ \geq 0$ pour tout $a \in Z$ ; si $a \geq 0$ alors $∣ a ∣ = a$ , si $a < 0$ alors $∣ a ∣ = - a$
Opposé : l'opposé de $a$ est $- a$ ; on a $a + (- a) = 0$
Soustraction → addition : $a - b = a + (- b)$
Règle des signes (multiplication/division) : signes identiques $\Rightarrow$ résultat $+$ ; signes différents $\Rightarrow$ résultat $-$
Comparaison de négatifs : si $a < 0$ et $b < 0$ , alors $a < b \Leftrightarrow ∣ a ∣ > ∣ b ∣$
Tout positif est supérieur à tout négatif : si $a \geq 0$ et $b < 0$ , alors $a > b$
Coordonnées d'un point : $M (x_{M}; y_{M})$ avec $x_{M}$ = abscisse, $y_{M}$ = ordonnée
Distance à zéro : $∣ a - 0∣ = ∣ a ∣$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

« Deux signes identiques → Plus, deux signes différents → Moins » : pour simplifier une écriture comme $a - (- b)$ , retiens : moins et moins font plus, donc $a - (- b) = a + b$ . De même, $a + (- b) = a - b$ .
Piège classique avec la comparaison : ne pas confondre « plus grand » et « plus grand en valeur absolue ». Par exemple, $- 1 > - 100$ même si $100 > 1$ . Sur la droite graduée, $- 1$ est plus à droite que $- 100$ , donc plus grand.
Astuce pour la multiplication : compte le nombre de signes « $-$ » dans le produit. Si ce nombre est pair → résultat positif ; s'il est impair → résultat négatif. Ex : $(- 2) \times (- 3) \times (- 1)$ : trois signes moins (impair) → résultat négatif : $- 6$ .
Ne pas oublier de transformer la soustraction : avant de calculer, remplace toujours $a - b$ par $a + (- b)$ . Cela évite les erreurs de signe, notamment lorsque $b$ est lui-même négatif.
Repère : bien identifier l'axe : l'abscisse se lit sur l'axe horizontal (axe des $x$ ) et l'ordonnée sur l'axe vertical (axe des $y$ ). Moyen mnémotechnique : « AB-scisse = AB-scisses = AB (horizontal comme une table) ».

Nombres relatifs — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Lumaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

12 exercices

Soustraction de nombres relatifs

Facile

Énoncé

Calculez le résultat de −5 − (−3).

Ma réponse

Nombres relatifs

Nombres relatifs — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Notion de nombre relatif

2. Repérage sur une droite graduée

3. Valeur absolue et opposé

4. Comparaison et ordre des nombres relatifs

5. Addition et soustraction de nombres relatifs

6. Multiplication et division de nombres relatifs

7. Repérage dans le plan (coordonnées)

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Calculer une somme ou une différence de nombres relatifs

Méthode 2 : Calculer un produit ou un quotient de nombres relatifs

Nombres relatifs — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Soustraction de nombres relatifs

Valeur absolue

Addition de nombres relatifs

Quel est le plus grand entre -3 et 2 ?

Valeurs absolues

Valeur absolue d'un nombre

Comparer -3 et +2, justifier le plus grand

Trouver l'oppose

Additionner deux relatifs de meme signe

Signe d'un nombre relatif

Encadrer un relatif entre deux entiers

Lecture d'abscisses sur la droite

Exercices Intermédiaires

Addition de distances

Problème de comparaison

Compte bancaire à 450€ : retraits, virement et paiement

Problème d'argent

Problème de euro

Problème de distance

Multiplication

Valeur absolue et distance

Budget de Fatima : dépense de 20 euro puis cadeau de 30 euro

Addition avec des signes opposés

Économie en euro

Placer et ranger cinq relatifs

Somme d'un positif et d'un negatif

Suite de gains et de pertes au jeu

Retrancher un nombre relatif

Variation de temperature dans la journee

Exercices Difficiles

Solde d'Ali à 250€ après retraits et dépôt

Combinaison de nombres relatifs

Problème — compte bancaire Ahmed

Opérations combinées

Agrégation de nombres

Évaluation de dettes

Comparaison de températures

Problèmes avec nombres relatifs

Calcul des dépenses et des revenus

Soustraction en chaîne

Budget de Fatima à -20 euro : achat d'un livre à 15 euro

Achat de livres

Problème de dépenses

Budget d'Ahmed à 50 euro : dépense puis don des parents

Budget de Fatima à -20 euro : achat de livres à 30 euro

Calcul de budget avec dettes

Budget d'Ahmed : +150 euro puis dépense de 80 euro

Le compte en banque de Sofia

Distance a zero de plusieurs nombres

Reconstituer une chronologie avant et apres J.-C.

Ecart entre deux altitudes

Calcul d'un programme d'operations

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Nombres relatifs

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé