1. Fractions égales et simplification

Deux fractions sont égales si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

$$\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}\text{avec }k\ne 0$$

Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même entier (leur diviseur commun). Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.

2. Fractions et nombres décimaux

Une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1000…) s'écrit facilement en écriture décimale :

$$\frac{37}{100}=0,37\frac{5}{10}=0,5$$

Pour convertir une fraction quelconque en décimal, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Le résultat peut être un décimal fini ou un décimal infini périodique.

3. Comparer des fractions

Pour comparer deux fractions, on les réduit au même dénominateur (on cherche un dénominateur commun, souvent le produit ou le PPCM des deux dénominateurs), puis on compare les numérateurs.

$$\frac{3}{4}\text{ et }\frac{5}{6}⟶\frac{9}{12}\text{ et }\frac{10}{12}⟶\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$$

On peut aussi comparer en utilisant la valeur décimale de chaque fraction.

4. Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions :

• Si elles ont le même dénominateur : on additionne (ou soustrait) les numérateurs en conservant le dénominateur.
• Si elles ont des dénominateurs différents : on les réduit au même dénominateur, puis on opère sur les numérateurs.

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\times d}{b\times d}+\frac{c\times b}{d\times b}=\frac{ad+cb}{bd}$$

5. Multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$$

On peut simplifier avant de calculer en repérant des facteurs communs entre un numérateur et un dénominateur (simplification en croix).

6. Division de fractions

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ (avec $a\ne 0$ et $b\ne 0$).

$$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$$

7. Fractions et proportionnalité

Les fractions interviennent naturellement dans les situations de proportionnalité. Par exemple, prendre $\frac{3}{4}$ d'une quantité revient à multiplier cette quantité par $\frac{3}{4}$. On retrouve aussi les fractions dans les échelles, les pourcentages ($p\%=\frac{p}{100}$) et les vitesses moyennes.

8. Priorités opératoires et calculs combinés

Dans un calcul combinant plusieurs opérations sur des fractions, on respecte les priorités opératoires habituelles : les multiplications et divisions s'effectuent avant les additions et soustractions. Les parenthèses sont prioritaires sur tout le reste. Il est conseillé de simplifier les fractions obtenues à chaque étape.