1. Notion de divisibilité

On dit qu'un entier $a$ est divisible par un entier $b$ (avec $b\ne 0$) lorsque la division euclidienne de $a$ par $b$ donne un reste égal à zéro. On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $a$ est un multiple de $b$.

Par exemple : $42$ est divisible par $7$ car $42=7\times 6$, donc le reste est $0$.

2. Multiples et diviseurs

Les multiples d'un entier $n$ sont tous les entiers de la forme $n\times k$, où $k$ est un entier naturel. Par exemple, les multiples de $3$ sont : $0,3,6,9,12,\dots$

Les diviseurs d'un entier $n$ sont tous les entiers qui divisent $n$ sans reste. Par exemple, les diviseurs de $12$ sont : $1,2,3,4,6,12$.

3. Critères de divisibilité

Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans effectuer la division.

• Par 2 : le chiffre des unités est $0,2,4,6$ ou $8$ (nombre pair).
• Par 3 : la somme des chiffres est divisible par $3$.
• Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$.
• Par 5 : le chiffre des unités est $0$ ou $5$.
• Par 9 : la somme des chiffres est divisible par $9$.
• Par 10 : le chiffre des unités est $0$.

4. Nombres pairs et nombres impairs

Un entier est pair s'il est divisible par $2$. Il s'écrit sous la forme $2k$, où $k\in \mathbb{N}$. Par exemple : $0,2,4,6,8,\dots$

Un entier est impair s'il n'est pas divisible par $2$. Il s'écrit sous la forme $2k+1$, où $k\in \mathbb{N}$. Par exemple : $1,3,5,7,9,\dots$

5. Nombres premiers

Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à $2$ qui admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Les premiers nombres premiers sont : $2,3,5,7,11,13,17,19,23,\dots$

Le nombre $1$ n'est pas un nombre premier. Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair.

6. Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier supérieur ou égal à $2$ peut s'écrire de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme un produit de nombres premiers. On appelle cela la décomposition en produit de facteurs premiers.

Par exemple : $$360=2^3\times 3^2\times 5$$

Pour décomposer un nombre, on le divise successivement par les nombres premiers ($2,3,5,7,\dots$) jusqu'à obtenir $1$.

7. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Le PGCD de deux entiers $a$ et $b$ est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$. On le note $PGCD(a;b)$.

On peut le calculer par liste des diviseurs communs ou par décomposition en facteurs premiers (on prend les facteurs communs avec le plus petit exposant).

Exemple : $PGCD(24;36)=12$ car les diviseurs communs sont $1,2,3,4,6,12$.

Deux entiers sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à $1$.

8. Application : simplification de fractions

Le PGCD sert notamment à simplifier une fraction pour l'obtenir sous sa forme irréductible. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple : $$\frac{24}{36}=\frac{24÷12}{36÷12}=\frac{2}{3}$$

Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si $PGCD(a;b)=1$.