Théorème de la bijection (TVI + stricte monotonie)

Le théorème de la bijection : prouver l'existence et l'unicité

Le théorème de la bijection (aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) est l'un des résultats vedettes de la Terminale spé maths. Il permet d'affirmer qu'une équation $f(x)=k$ possède une solution unique. Il combine deux ingrédients : le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour l'existence, et la stricte monotonie pour l'unicité.

Énoncé

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue et strictement monotone. Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a,b]$.

Plus précisément, $k$ doit appartenir à $[f(a),f(b)]$ si $f$ est croissante, ou à $[f(b),f(a)]$ si $f$ est décroissante.

Pourquoi ça marche

• Existence (TVI) : une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$. Donc la valeur $k$ est atteinte au moins une fois.
• Unicité (monotonie) : une fonction strictement monotone ne repasse jamais par la même valeur. La valeur $k$ est donc atteinte au plus une fois.

« Au moins une fois » $+$ « au plus une fois » $=$ « exactement une fois ».

Le cas le plus fréquent : $f(x)=0$

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, et si $f(a)\cdot f(b)<0$ (changement de signe aux bornes), alors il existe un unique $\alpha \in ]a,b[$ tel que $f(\alpha )=0$.

Exemple résolu

Énoncé. Soit $f(x)=x^3+x-1$. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha )=0$.

Étape 1 — Continuité. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[0,1]$.

Étape 2 — Stricte monotonie. $f$ est dérivable et $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Or $3x^2\ge 0$, donc $f^{\prime }(x)\ge 1>0$ pour tout $x$. Ainsi $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$.

Étape 3 — Changement de signe. $f(0)=0+0-1=-1<0$ et $f(1)=1+1-1=1>0$. La valeur $0$ est donc comprise entre $f(0)$ et $f(1)$.

Conclusion. $f$ étant continue et strictement croissante sur $[0,1]$, avec $f(0)<0<f(1)$, le théorème de la bijection garantit l'existence d'un unique $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha )=0$. $■$

Encadrer la solution par dichotomie

Une fois l'existence prouvée, on approche $\alpha$ par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où $f$ change de signe.

• $f(0,5)=0,125+0,5-1=-0,375<0$, donc $\alpha \in ]0,5;1[$.
• $f(0,75)=0,421\dots +0,75-1=0,171\dots >0$, donc $\alpha \in ]0,5;0,75[$.
• $f(0,625)\approx -0,131<0$, donc $\alpha \in ]0,625;0,75[$.

À chaque étape, la largeur de l'encadrement est divisée par $2$ : on atteint la précision voulue en quelques itérations. Ici $\alpha \approx 0,682$.

Lien avec les suites adjacentes

Les deux bornes successives de la dichotomie forment deux suites adjacentes : la borne inférieure croît, la borne supérieure décroît, et leur écart $\frac{1}{2^n}$ tend vers $0$. Elles convergent toutes deux vers $\alpha$.

Les pièges

• Oublier de justifier la continuité (souvent immédiate, mais indispensable à mentionner).
• Oublier le mot « strictement » : une fonction simplement monotone ne garantit pas l'unicité.
• Annoncer $\alpha \in [a,b]$ alors que la solution est dans l'intervalle ouvert $]a,b[$ quand on part d'un changement de signe strict.
• Confondre « il existe » et « il existe un unique » : sans la monotonie, le TVI seul ne donne que l'existence.

Le cas des intervalles non bornés

Le théorème s'adapte aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant les valeurs aux bornes par des limites. Par exemple, si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a,+\infty [$ avec $f(a)<k$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, alors $f(x)=k$ a une unique solution sur $[a,+\infty [$. Au bac, pensez à calculer les limites aux bornes lorsque l'intervalle n'est pas un segment fermé : c'est elles qui jouent le rôle de $f(a)$ et $f(b)$.

Méthode de rédaction type au bac

1. Continuité : « $f$ est continue sur $[a,b]$ (comme polynôme / quotient / composée de fonctions continues). »
2. Monotonie : étudier le signe de $f^{\prime }$ pour affirmer « $f$ est strictement croissante (ou décroissante) sur $[a,b]$ ».
3. Valeur visée : vérifier que $k$ est bien entre $f(a)$ et $f(b)$ (ou les limites).
4. Conclusion : « D'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[a,b]$. »

Respecter cet ordre garantit la totalité des points : chaque hypothèse du théorème est explicitement vérifiée avant la conclusion. Un correcteur attribue en effet des points distincts à la continuité, à la stricte monotonie et à l'encadrement de la valeur : oublier l'un de ces trois éléments, c'est laisser des points sur la table même si la réponse finale est correcte.

Différence entre TVI et théorème de la bijection

Il est essentiel de ne pas confondre les deux énoncés. Le théorème des valeurs intermédiaires seul, avec la seule hypothèse de continuité, garantit qu'il existe au moins une solution à $f(x)=k$ : il assure l'existence, jamais l'unicité. Le théorème de la bijection ajoute l'hypothèse de stricte monotonie pour garantir qu'il existe exactement une solution. Autrement dit, le théorème de la bijection est le TVI renforcé par la monotonie. Choisissez donc votre théorème selon ce que demande l'énoncé : « montrer qu'il existe une solution » appelle le TVI ; « montrer qu'il existe une unique solution » appelle le théorème de la bijection.

Pour pratiquer : la méthode d'étude de fonction et comment calculer une limite.