Tableau de signe : méthode complète (polynôme, produit, quotient)

Pourquoi un tableau de signe ?

Le tableau de signe résume, sur tout $R$ , là où une expression est positive, négative ou nulle. C'est l'outil universel de Première spé maths pour résoudre une inéquation $f (x) \geq 0$ , étudier les variations d'une fonction via le signe de $f^{'}$ , ou déterminer le domaine d'une racine carrée. Le maîtriser, c'est gagner du temps et de la rigueur dans la moitié des exercices d'analyse.

La méthode générale en 4 étapes

Factoriser l'expression au maximum (produit ou quotient de facteurs simples).
Trouver les zéros de chaque facteur, ainsi que les valeurs interdites (zéros d'un dénominateur).
Construire le tableau : une ligne par facteur, une colonne par intervalle délimité par les valeurs trouvées.
Multiplier les signes colonne par colonne pour obtenir la ligne du signe final.

Cas 1 — Trinôme du second degré

Pour $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , on calcule le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

$Δ > 0$ : deux racines $x_{1} < x_{2}$ . $f$ a le signe de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe opposé entre les racines.
$Δ = 0$ : une racine double $x_{0}$ . $f$ a le signe de $a$ partout, et s'annule en $x_{0}$ .
$Δ < 0$ : aucune racine. $f$ a le signe de $a$ sur tout $R$ .

Mémo : « signe de $a$ dehors, contraire dedans ».

Exemple résolu : un quotient

Étudions le signe de $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x - 4}$ .

Étape 1 — Factoriser. Le numérateur a pour racines $1$ et $2$ (somme $3$ , produit $2$ ), donc $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ . Ainsi :

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{x - 4} .

Étape 2 — Zéros et valeur interdite. Les zéros sont $x = 1$ et $x = 2$ ; la valeur $x = 4$ annule le dénominateur, elle est donc exclue du domaine.

Étape 3 — Tableau de signe.

$x$	$- \infty$	$1$	$2$	$4$	$+ \infty$
$x - 1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 2$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x - 4$	$-$	$-$	$-$	$∥$	$+$
$f (x)$	$-$	$0$	$+$	$∥$	$+$

La double barre en $x = 4$ rappelle la valeur interdite (on n'écrit pas $0$ , mais $∥$ ).

Étape 4 — Conclusion. On lit que $f (x) \geq 0$ sur $[1, 2] \cup] 4, + \infty [$ , et $f (x) \leq 0$ sur $] - \infty, 1] \cup [2, 4 [$ .

Cas 2 — Produit ou quotient de facteurs

La règle des signes guide la dernière ligne : positif $\times$ positif $=$ positif, négatif $\times$ négatif $=$ positif, positif $\times$ négatif $=$ négatif. Concrètement, on compte le nombre de signes $-$ dans une colonne : pair $\Rightarrow$ résultat $+$ , impair $\Rightarrow$ résultat $-$ .

Pour un quotient, la règle est identique, mais on exclut les zéros du dénominateur (double barre verticale, jamais un $0$ ).

Les pièges

Oublier d'exclure les valeurs interdites : un $0$ à la place d'une double barre fausse l'ensemble solution.
Oublier d'inverser le sens d'une inéquation lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Mal lire la dernière ligne : c'est le produit des signes de toutes les lignes au-dessus, colonne par colonne.
Confondre crochets ouverts et fermés dans la conclusion : on inclut les zéros pour $\geq 0$ , mais jamais les valeurs interdites.

Application directe : résoudre $f (x) > 0$

Une fois le tableau construit, la résolution est immédiate : on relève les intervalles où la dernière ligne affiche $+$ . Pour l'exemple ci-dessus, $f (x) > 0$ sur $] 1, 2 [\cup] 4, + \infty [$ (avec inégalité stricte, on exclut aussi les zéros $1$ et $2$ ).

À retenir. Factoriser, repérer zéros et valeurs interdites, dresser une ligne par facteur, puis multiplier les signes colonne par colonne. La double barre

∥

marque une valeur interdite, le

0

marque un zéro. La dernière ligne donne directement la solution de l'inéquation.

Second exemple : un produit de trois facteurs

Résolvons $(x + 2) (x - 1) (3 - x) \leq 0$ .

Zéros. $x = - 2$ , $x = 1$ , $x = 3$ . Attention au facteur $3 - x$ : il est positif pour $x < 3$ et négatif pour $x > 3$ (le coefficient devant $x$ est négatif).

$x$	$- \infty$	$- 2$	$1$	$3$	$+ \infty$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$3 - x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

On cherche $\leq 0$ : la solution est $[- 2, 1] \cup [3, + \infty [$ . Cet exemple montre l'importance de bien lire le signe d'un facteur de la forme $b - x$ , où la croissance est inversée. Une astuce sûre consiste à toujours ramener chaque facteur affine à la forme $a (x - x_{0})$ : le signe dépend alors du signe de $a$ et de la position de $x$ par rapport à la racine $x_{0}$ . Ici, $3 - x = - (x - 3)$ , ce qui explique le passage du positif au négatif en franchissant $3$ .

Construire le tableau sans erreur

Pour chaque ligne, une seule règle : un facteur affine $a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ , est du signe de $- a$ avant cette valeur et du signe de $a$ après. Reportez les zéros sur la première ligne dans l'ordre croissant, tracez une colonne entre chaque, puis remplissez ligne par ligne. La toute dernière ligne se calcule en comptant les $-$ de chaque colonne : un nombre pair donne $+$ , un nombre impair donne $-$ .

Tableau de signe et étude de fonction

Le tableau de signe ne sert pas qu'aux inéquations. Pour étudier les variations d'une fonction $f$ , on dresse le tableau de signe de sa dérivée $f^{'}$ : là où $f^{'} (x) > 0$ , $f$ croît ; là où $f^{'} (x) < 0$ , $f$ décroît ; les zéros de $f^{'}$ donnent les extremums éventuels. C'est le même outil, réinvesti dans tout le programme d'analyse.

Voir aussi : étudier le signe d'une expression et les inéquations avec valeur absolue.