Inéquations avec valeur absolue : méthode

La valeur absolue, une distance

En Première spécialité, la valeur absolue $|x|$ se lit comme la distance de $x$ à zéro sur la droite numérique. Cette interprétation géométrique est la clé pour comprendre — et non mémoriser bêtement — les inéquations qui suivent.

Définition

Par définition, $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$. Une valeur absolue est donc toujours positive ou nulle. Plus généralement, $|x-a|$ mesure la distance entre $x$ et $a$.

Les deux équivalences fondamentales

Pour un réel $a>0$ et une expression $X$ :

• $|X|<a⟺-a<X<a$ (un encadrement).
• $|X|>a⟺X<-a\text{ou}X>a$ (une réunion de deux morceaux).

Pour $\le$ et $\ge$, on remplace simplement les inégalités strictes par des larges. Retiens l'image : « plus petit que $a$ » = « proche de $0$ » = un seul intervalle centré ; « plus grand que $a$ » = « loin de $0$ » = les deux extrémités.

Les cas particuliers $a\le 0$

• $|X|<a$ avec $a\le 0$ : aucune solution (une valeur absolue n'est jamais strictement négative).
• $|X|>a$ avec $a<0$ : tous les réels conviennent (toujours vrai).
• $|X|>0$ : tous les $X$ tels que $X\ne 0$.

Exemple 1 — inéquation « inférieure »

Résoudre $|2x-3|<5$.

Étape 1. On applique l'équivalence : $-5<2x-3<5$.

Étape 2. On ajoute $3$ partout : $-2<2x<8$.

Étape 3. On divise par $2$ (positif, le sens ne change pas) : $-1<x<4$.

Conclusion. $S=]-1,4[$.

Exemple 2 — inéquation « supérieure »

Résoudre $|x+1|\ge 3$.

Étape 1. On applique l'équivalence : $x+1\le -3\text{ou}x+1\ge 3$.

Étape 2. On isole $x$ dans chaque cas : $x\le -4\text{ou}x\ge 2$.

Conclusion. $S=]-\infty ,-4]\cup [2,+\infty [$.

La méthode par disjonction de cas

Quand l'équivalence directe ne s'applique pas, par exemple pour $|x-1|+|x+2|<5$ (somme de deux valeurs absolues), on enlève les valeurs absolues sur des intervalles bien choisis :

1. Repère les valeurs qui annulent l'intérieur de chaque $|\cdot |$ : ici $x=1$ et $x=-2$.
2. Découpe $\mathbb{R}$ en intervalles : $]-\infty ,-2]$, $[-2,1]$ et $[1,+\infty [$.
3. Sur chaque intervalle, remplace chaque valeur absolue par son expression sans barres, puis résous.
4. Réunis les solutions trouvées (en ne gardant que celles qui appartiennent à l'intervalle étudié).

Sur $[-2,1]$ par exemple, $x-1\le 0$ donc $|x-1|=1-x$, et $x+2\ge 0$ donc $|x+2|=x+2$. L'inéquation devient $(1-x)+(x+2)<5$, soit $3<5$ : toujours vrai. Tout l'intervalle $[-2,1]$ est donc solution.

Lecture graphique

$|x-a|<r$ se lit « $x$ est à une distance inférieure à $r$ de $a$ » : c'est l'intervalle ouvert $]a-r,a+r[$, centré en $a$. À l'inverse, $|x-a|>r$ décrit tout ce qui est « loin » de $a$ : la réunion $]-\infty ,a-r[\cup ]a+r,+\infty [$.

Pièges à éviter

• Confondre les deux équivalences : « $<$ » donne un intervalle, « $>$ » donne une réunion.
• Élever au carré sans précaution : $|X|<a⟺X^2<a^2$ uniquement si $a>0$.
• Oublier d'inverser le sens de l'inégalité quand on multiplie par un nombre négatif.
• Écrire $|x|=-3$ a une solution : c'est impossible, une valeur absolue est positive.

Distance entre deux réels

La valeur absolue formalise la notion intuitive de distance. La distance entre deux réels $x$ et $y$ est $d(x,y)=|x-y|=|y-x|$ : peu importe l'ordre, le résultat est positif. C'est ce point de vue qui rend les inéquations transparentes : $|x-5|\le 2$ se lit « les réels à distance au plus $2$ de $5$ », donc l'intervalle $[3,7]$, sans le moindre calcul.

On retrouve aussi l'inégalité triangulaire : pour tous réels $a$ et $b$, $|a+b|\le |a|+|b|$. Elle traduit qu'un détour ne raccourcit jamais le chemin, et sert dans de nombreuses majorations.

Exemple 3 — encadrement à exploiter

On suppose que $|x-2|\le 0,1$. Que peut-on dire de $x$ ? L'inéquation équivaut à $-0,1\le x-2\le 0,1$, soit $1,9\le x\le 2,1$. Autrement dit, $x$ est une valeur approchée de $2$ à $0,1$ près. Ce type d'écriture est exactement celui utilisé pour exprimer la précision d'une approximation, par exemple en analyse ou en physique.

Lien avec les équations

Avant de résoudre une inéquation, il est souvent utile de savoir résoudre l'équation associée. Pour $a\ge 0$, $|X|=a⟺X=a\text{ou}X=-a$. Les solutions de l'équation sont les bornes qui découpent la droite réelle, et l'inéquation se résout ensuite en testant le signe sur chaque intervalle. C'est la même logique que pour les tableaux de signes : trouver les valeurs charnières, puis raisonner par morceaux.

Pour t'entraîner : chapitre valeur absolue en Première.