Étudier le signe d'une expression : guide pratique

Pourquoi savoir étudier un signe ?

Étudier le signe d'une expression est une compétence transversale : elle sert à résoudre une inéquation $f(x)\ge 0$, à déterminer les variations d'une fonction (via le signe de $f^{\prime }$), ou à trouver le domaine de $\sqrt{f}$ ($f\ge 0$) et de $\ln (f)$ ($f>0$). C'est l'un des gestes les plus utilisés du lycée, en Première comme en Terminale.

La stratégie en 4 réflexes

1. Factoriser l'expression au maximum.
2. Identifier les facteurs et calculer leurs zéros.
3. Construire un tableau de signe, un facteur par ligne.
4. Multiplier les signes colonne par colonne pour obtenir le signe final.

Tout repose sur la règle des signes du produit : un produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif s'il est impair. C'est elle qu'on applique mécaniquement à la dernière ligne du tableau, en lisant chaque colonne de haut en bas.

Avant de détailler, gardons un cap : on ne devine jamais un signe « à l'œil ». On factorise, on dresse le tableau, on multiplie. Cette discipline évite la plupart des erreurs, surtout quand l'expression mélange plusieurs facteurs de natures différentes (affine, trinôme, logarithme).

Cas 1 — Expression affine $ax+b$

Unique zéro en $x=-\frac{b}{a}$.

• Si $a>0$ : négatif avant $-\frac{b}{a}$, positif après.
• Si $a<0$ : positif avant, négatif après.

Moyen mnémotechnique : le signe « après » le zéro est toujours celui de $a$.

Cas 2 — Trinôme $a{x}^2+bx+c$

On calcule $\Delta =b^2-4ac$ :

• $\Delta >0$ : deux racines $x_1<x_2$. Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.
• $\Delta =0$ : racine double. Signe de $a$ partout, nul en cette racine.
• $\Delta <0$ : pas de racine réelle. Signe de $a$ partout.

Cas 3 — Polynôme de degré $\ge 3$

1. Cherche une racine évidente (teste $0,1,-1,2,-2$).
2. Factorise par $(x-\text{racine})$ via une division polynomiale.
3. Recommence jusqu'à n'avoir que des facteurs du premier ou du second degré.

Cas 4 — Quotient $\frac{P(x)}{Q(x)}$

1. Étudie séparément le signe de $P$ et celui de $Q$.
2. Exclus les zéros de $Q$ (double barre dans le tableau : la valeur est interdite).
3. Applique la règle des signes : un quotient suit la même règle qu'un produit.

Cas 5 — Expressions avec $e^x$ ou $\ln$

• $e^x>0$ pour tout $x$ : le signe de $e^{x}f(x)$ est exactement celui de $f(x)$. On peut « ignorer » l'exponentielle.
• $\ln (x)$ est négatif sur $]0,1[$, nul en $1$, positif sur $]1,+\infty [$.

Exemple résolu : $f(x)=(x-2)e^x\ln (x)$ sur $]0,+\infty [$

On a un produit de trois facteurs. Étudions chacun.

• $x-2$ : négatif si $x<2$, nul en $2$, positif si $x>2$.
• $e^x$ : strictement positif partout.
• $\ln (x)$ : négatif sur $]0,1[$, nul en $1$, positif sur $]1,+\infty [$.

On reporte tout dans un tableau (sur $]0,+\infty [$) :

$x$	$0$	$1$	$2$	$+\infty$
$x-2$	$-$	$-$	$0$	$+$
$e^x$	$+$	$+$	$+$	$+$
$\ln (x)$	$-$	$0$	$+$	$+$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$ puis $+$

Lecture du signe final, intervalle par intervalle :

• Sur $]0,1[$ : $(-)\times (+)\times (-)=+$.
• En $x=1$ : $\ln (1)=0$ donc $f=0$.
• Sur $]1,2[$ : $(-)\times (+)\times (+)=-$.
• En $x=2$ : $x-2=0$ donc $f=0$.
• Sur $]2,+\infty [$ : $(+)\times (+)\times (+)=+$.

Conclusion : $f(x)\ge 0$ sur $]0,1]\cup [2,+\infty [$, et $f(x)\le 0$ sur $[1,2]$.

Pièges les plus fréquents

• Oublier la double barre sous le zéro d'un dénominateur : la valeur est interdite, pas seulement nulle.
• Multiplier des inégalités sans regarder les signes : multiplier par un nombre négatif inverse le sens, ce qui fausse tout.
• Mauvaise factorisation : vérifie toujours en redéveloppant.
• Confondre signe de $f$ et zéros de $f$ : un tableau de signe indique les deux, mais ce sont des informations différentes.

Second exemple résolu : un quotient

Étudions le signe de $g(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$.

1. Factoriser le numérateur : $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Zéros : $-1$ et $1$.
2. Dénominateur : $x-2$, zéro en $2$ (valeur interdite).
3. Tableau avec les valeurs ordonnées $-1<1<2$ :

$x$	$-\infty$	$-1$	$1$	$2$	$+\infty$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$-$	$0$	$0$	$\Vert$	$+$

En multipliant trois facteurs : $g(x)<0$ sur $]-\infty ,-1[\cup ]1,2[$, et $g(x)>0$ sur $]-1,1[\cup ]2,+\infty [$. La double barre en $2$ rappelle que $g$ n'y est pas définie.

Pour aller plus loin

Voir la méthode du tableau de signe et les inéquations avec valeur absolue. S'entraîner sur un produit de trois facteurs, comme ci-dessus, est le meilleur exercice pour ancrer la règle des signes.