La loi binomiale : reconnaître, calculer et rédiger au bac (méthode)

La loi binomiale est l'un des grands classiques du bac de spé maths. Dès qu'un énoncé répète plusieurs fois la même expérience à deux issues, elle est presque toujours là. Le vrai enjeu n'est pas le calcul (la calculatrice le fait), mais de reconnaître la situation et de rédiger proprement. Voici la méthode complète.

Étape 1 — Reconnaître un schéma de Bernoulli

Tout commence par une épreuve de Bernoulli : une expérience à deux issues seulement, le succès (probabilité $p$) et l'échec (probabilité $1-p$). Un schéma de Bernoulli, c'est cette même épreuve répétée $n$ fois en respectant trois conditions :

• Deux issues : à chaque répétition, on ne distingue que succès / échec.
• Indépendance : le résultat d'une répétition n'influence pas les suivantes (typiquement un tirage avec remise, ou des individus choisis indépendamment).
• Probabilité constante : la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition.

Si ces trois conditions sont réunies, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès parmi les $n$ répétitions suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note :

$$X\sim \mathcal{B}(n,p)$$

Étape 2 — Les réflexes pour repérer la loi binomiale dans un énoncé

Cherche ces signaux dans le texte :

• On répète $n$ fois la même expérience (« on prélève 10 pièces », « on interroge 50 personnes »).
• Chaque répétition a deux résultats possibles que l'on peut nommer succès / échec.
• Les répétitions sont indépendantes (avec remise, ou échantillon assimilé à des tirages indépendants).
• On s'intéresse au nombre de fois où le succès se produit.

Au brouillon, écris toujours la phrase type : « $X$ compte le nombre de succès, succès = …, $p=\dots$. Les répétitions sont indépendantes et identiques, donc $X\sim \mathcal{B}(n,p)$. » Cette phrase rapporte des points le jour du bac.

Étape 3 — La formule

Pour un entier $k$ compris entre $0$ et $n$, la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est :

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

Décortiquons chaque morceau :

• $p^k$ : les $k$ succès, chacun de probabilité $p$.
• $(1-p{)}^{n-k}$ : les $n-k$ échecs, chacun de probabilité $1-p$.
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ : le coefficient binomial, qui compte le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ répétitions.

Le coefficient binomial se calcule par :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Par exemple $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{2\times 6}=10$. À la calculatrice on l'obtient avec la touche nCr (ou combinaison).

Étape 4 — Calculer $P(X=k)$, $P(X\le k)$ et $P(X\ge k)$

Trois types de questions reviennent. Apprends à les traduire :

• « exactement $k$ » $\to P(X=k)$, formule directe.
• « au plus $k$ » (c'est-à-dire $\le k$) $\to P(X\le k)$, somme cumulée. À la calculatrice : binomFRép (loi binomiale cumulée).
• « au moins $k$ » (c'est-à-dire $\ge k$) : on passe par le complémentaire.

L'astuce du complémentaire est incontournable, car la calculatrice ne donne directement que les probabilités cumulées « inférieures ou égales ». On écrit :

$$P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$$

Attention à la borne : « au moins $k$ » exclut les valeurs $0,1,\dots ,k-1$, donc on retranche $P(X\le k-1)$, et non $P(X\le k)$.

Étape 5 — Espérance et variance

Pas besoin de longs calculs : pour $X\sim \mathcal{B}(n,p)$, on a des formules toutes faites.

$$E(X)=npV(X)=np(1-p)\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$$

L'espérance $E(X)=np$ s'interprète comme le nombre moyen de succès attendu sur les $n$ répétitions. C'est souvent la dernière question d'un exercice : « En moyenne, combien de pièces défectueuses ? »

Exemple résolu type bac

Énoncé. Une usine produit des pièces. Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité de $0,05$, indépendamment des autres. On prélève un lot de $n=20$ pièces. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses dans le lot.

1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On répète $20$ fois la même épreuve « tester une pièce », à deux issues : succès = « la pièce est défectueuse » de probabilité $p=0,05$, échec sinon. Les prélèvements sont indépendants et la probabilité reste constante. Donc $X$ compte le nombre de succès et :

$$X\sim \mathcal{B}(20;0,05)$$

2) Calculer la probabilité qu'il y ait exactement $2$ pièces défectueuses.

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)(0,05{)}^2(0,95{)}^{18}\approx 0,189$$

(soit environ $18,9\%$ ; détail : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$.)

3) Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $1$ pièce défectueuse.

$$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)\approx 0,736$$

À la calculatrice, on tape directement binomFRép(20, 0.05, 1).

4) Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $2$ pièces défectueuses.

On utilise le complémentaire :

$$P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)\approx 1-0,736=0,264$$

5) Quel est le nombre moyen de pièces défectueuses dans un lot ?

$$E(X)=np=20\times 0,05=1$$

En moyenne, on attend $1$ pièce défectueuse par lot de $20$.

Bien rédiger : la calculatrice

Le jour du bac, tu peux utiliser la calculatrice, mais tu dois poser la formule avant le résultat. La rédaction gagnante :

• écrire l'expression exacte, par exemple $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)(0,05{)}^2(0,95{)}^{18}$ ;
• puis donner la valeur arrondie : $\approx 0,189$ ;
• préciser l'arrondi demandé (souvent $10^{-3}$ ou $10^{-2}$) et le symbole $\approx$ (jamais $=$ pour une valeur approchée).

Les pièges classiques

• Inégalités strictes vs larges. « strictement plus de $k$ » signifie $X>k$, soit $X\ge k+1$ ; « moins de $k$ » signifie $X<k$, soit $X\le k-1$. Traduis-les toujours en inégalité large avant d'utiliser la calculatrice.
• Le complémentaire. $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$, pas $1-P(X\le k)$. Vérifie la borne.
• Confondre $k$ et $n-k$. Vérifie que l'exposant de $p$ est bien le nombre de succès $k$.
• Indépendance. Un tirage sans remise casse l'indépendance : ce n'est plus une loi binomiale.
• Variance et écart-type. $V(X)=np(1-p)$ ; l'écart-type est sa racine carrée, ne les confonds pas.