Méthode : réussir un exercice de probabilités au bac

Les probabilités sont l'une des valeurs sûres du bac : presque chaque sujet en contient un exercice. La bonne nouvelle, c'est que ces exercices suivent presque toujours le même scénario. Une fois que tu reconnais le schéma, tu sais quoi écrire. Voici la méthode.

Étape 1 — Repérer le type de situation

Avant tout calcul, lis l'énoncé en cherchant à quelle famille appartient l'exercice. Deux grands cas reviennent sans cesse :

Une expérience en plusieurs étapes (on tire, puis on teste ; on choisit une usine, puis on observe un défaut). Ici, le réflexe est l'arbre pondéré.
Une répétition d'épreuves identiques et indépendantes, avec à chaque fois deux issues (succès / échec). Ici, on pense loi binomiale.

Souligne les mots-clés : « parmi », « on prélève au hasard », « indépendamment », « on répète $n$ fois ». Ils trahissent presque toujours la méthode attendue.

Étape 2 — Construire l'arbre pondéré

L'arbre est ton meilleur allié. Chaque branche porte une probabilité, et tu dois respecter deux règles d'or :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles : la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé se note $P_{A} (B)$ , définie par $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$ Autrement dit, la probabilité d'un chemin $A$ puis $B$ s'écrit $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

Étape 3 — Appliquer la formule des probabilités totales

Pour calculer la probabilité d'un événement $T$ qui peut survenir « par plusieurs chemins », on additionne les chemins. Si $A$ et $\overline{A}$ forment une partition (les deux seuls cas possibles), alors $P (T) = P (A \cap T) + P (\overline{A} \cap T) = P (A) P_{A} (T) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (T) .$ C'est la formule des probabilités totales : sur l'arbre, on repère toutes les feuilles qui réalisent $T$ et on additionne leurs poids.

Exemple résolu : un test de dépistage

Une maladie touche $2%$ d'une population. On dispose d'un test :

si la personne est malade, le test est positif dans $99%$ des cas ;
si elle est saine, le test est quand même positif dans $1%$ des cas (faux positif).

On note $M$ « être malade » et $T$ « avoir un test positif ». On a $P (M) = 0, 02$ , donc $P (\overline{M}) = 0, 98$ , avec $P_{M} (T) = 0, 99$ et $P_{\overline{M}} (T) = 0, 01$ .

Probabilité d'un test positif. Par la formule des probabilités totales : $P (T) = 0, 02 \times 0, 99 + 0, 98 \times 0, 01 = 0, 0198 + 0, 0098 = 0, 0296.$

La question piège. Si une personne a un test positif, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? On cherche $P_{T} (M)$ , à ne pas confondre avec $P_{M} (T)$ : $P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 02 \times 0 , 99}{0 , 0296} = \frac{0 , 0198}{0 , 0296} \approx 0, 669.$

Surprise : malgré un test très fiable, à peine 67\% des personnes positives sont vraiment malades ! C'est parce que la maladie est rare : les faux positifs, prélevés sur une énorme population saine, pèsent lourd. Savoir interpréter ce résultat rapporte souvent des points.

Étape 4 — Reconnaître une loi binomiale

On utilise la loi binomiale dès que quatre conditions sont réunies :

on répète $n$ fois la même épreuve ;
les répétitions sont indépendantes ;
chaque épreuve n'a que deux issues : succès (probabilité $p$ ) ou échec ;
on compte le nombre $X$ de succès.

On écrit alors $X \sim B (n, p)$ . La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k},$ et l'espérance (le nombre moyen de succès attendu) est $E (X) = n p .$

Application — contrôle qualité. Une chaîne produit des pièces dont $2%$ sont défectueuses. On en prélève $10$ au hasard ; on admet l'indépendance. Le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $B (10; 0, 02)$ .

En moyenne, on attend $E (X) = 10 \times 0, 02 = 0, 2$ pièce défectueuse. La probabilité de n'en trouver aucune est $P (X = 0) = (0 10) (0, 02)^{0} (0, 98)^{10} = (0, 98)^{10} \approx 0, 817.$ Donc la probabilité d'en trouver au moins une est $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) \approx 1 - 0, 817 = 0, 183.$

Les réflexes qui font gagner des points

Dessine toujours l'arbre, même s'il n'est pas demandé : il structure le raisonnement.
Ne confonds pas $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ : le « sachant » change tout.
Justifie la loi binomiale en citant les conditions (répétition, indépendance, deux issues) : c'est exigé.
Pour « au moins un », passe par l'événement contraire $1 - P (X = 0)$ .
Interprète les résultats par une phrase : un nombre seul est rarement suffisant.

Avec ces quatre étapes — repérer, construire l'arbre, appliquer les probabilités totales, mobiliser la binomiale — tu disposes d'une trame qui s'adapte à la quasi-totalité des exercices de probabilités du bac. Entraîne-toi sur deux ou trois sujets et le réflexe deviendra automatique.