Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire : méthode

L'espérance, la variance et l'écart-type résument en quelques nombres tout le comportement d'une variable aléatoire : ce qu'on attend en moyenne, et à quel point les valeurs s'en écartent. C'est un grand classique du bac, et une fois la méthode en main, ce sont des points faciles. Voici comment procéder.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. Par exemple, le gain à un jeu, le nombre de succès lors de tirages, ou la face obtenue avec un dé.

La loi de probabilité de $X$ donne, pour chaque valeur possible $x_{i}$ , sa probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ . On la présente souvent dans un tableau. La règle de base : la somme de toutes les probabilités vaut $1$ , c'est-à-dire $i \sum p_{i} = 1$ . C'est la première chose à vérifier.

L'espérance : la moyenne attendue

L'espérance de $X$ , notée $E (X)$ , est la moyenne des valeurs $x_{i}$ pondérées par leurs probabilités :

E (X) = i \sum x_{i} p_{i} = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} .

Concrètement, $E (X)$ représente la valeur moyenne que l'on obtiendrait en répétant un très grand nombre de fois l'expérience. À un jeu d'argent, si $X$ est le gain, une espérance positive signifie que le jeu est favorable au joueur, une espérance nulle qu'il est équitable, négative qu'il est perdant en moyenne.

La variance et l'écart-type : la dispersion

L'espérance ne dit pas tout : deux variables peuvent avoir la même moyenne mais des comportements très différents. La variance mesure à quel point les valeurs s'écartent de l'espérance. Sa définition est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

V (X) = i \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} .

En pratique, on utilise presque toujours la formule de König-Huygens, bien plus rapide à calculer :

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}, o \overset{u}{ˋ} E (X^{2}) = i \sum x_{i}^{2} p_{i} .

La variance est toujours positive ou nulle (c'est une moyenne de carrés). Mais elle s'exprime dans une unité « au carré », peu parlante. On lui préfère donc l'écart-type, qui revient à la même unité que $X$ :

σ (X) = V (X) .

Un petit écart-type signifie que les valeurs sont concentrées autour de la moyenne ; un grand écart-type, qu'elles sont très dispersées.

Exemple résolu

Considérons une variable aléatoire $X$ donnée par la loi suivante :

$P (X = - 1) = 0, 2$
$P (X = 0) = 0, 5$
$P (X = 2) = 0, 3$

Vérification. La somme des probabilités vaut $0, 2 + 0, 5 + 0, 3 = 1$ : la loi est bien définie.

Espérance.

E (X) = (- 1) \times 0, 2 + 0 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 = - 0, 2 + 0 + 0, 6 = 0, 4.

Moment d'ordre 2. On calcule $E (X^{2})$ en élevant chaque valeur au carré :

E (X^{2}) = (- 1)^{2} \times 0, 2 + 0^{2} \times 0, 5 + 2^{2} \times 0, 3 = 0, 2 + 0 + 1, 2 = 1, 4.

Variance et écart-type. Par la formule de König-Huygens :

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 1, 4 - (0, 4)^{2} = 1, 4 - 0, 16 = 1, 24,

σ (X) = 1, 24 \approx 1, 11.

En moyenne, $X$ vaut $0, 4$ , avec une dispersion typique d'environ $1, 11$ autour de cette moyenne.

Propriétés à connaître par cœur

Si $a$ et $b$ sont deux réels et qu'on transforme $X$ en $a X + b$ (changement d'échelle et de décalage), alors :

Espérance : $E (a X + b) = a E (X) + b$ . L'espérance suit la transformation à l'identique.
Variance : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ . Le décalage $b$ disparaît (il déplace tout sans changer la dispersion), et le facteur $a$ est mis au carré.
Écart-type : $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ , avec une valeur absolue car un écart-type est toujours positif.

Le cas de la loi binomiale

Lorsque $X$ suit une loi binomiale $B (n, p)$ — c'est-à-dire le nombre de succès lors de $n$ épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$ — pas besoin de tableau : les formules sont directes.

$E (X) = n p$
$V (X) = n p (1 - p)$
$σ (X) = n p (1 - p)$

Exemple. On lance $20$ fois une pièce équilibrée et $X$ compte le nombre de « pile ». Alors $X \sim B (20; 0, 5)$ , donc $E (X) = 20 \times 0, 5 = 10$ , $V (X) = 20 \times 0, 5 \times 0, 5 = 5$ et $σ (X) = 5 \approx 2, 24$ .

Les pièges à éviter

Ne jamais oublier d'élever au carré dans $E (X^{2})$ : on calcule $\sum x_{i}^{2} p_{i}$ , et non $(\sum x_{i} p_{i})^{2}$ .
Attention à l'ordre dans König-Huygens : c'est $E (X^{2}) - E (X)^{2}$ , jamais $E (X)^{2} - E (X^{2})$ (qui donnerait un nombre négatif, impossible pour une variance).
Une variance ne peut pas être négative : si tu trouves un résultat négatif, il y a une erreur de calcul.
Le « $+ b$ » ne change pas la variance : erreur fréquente d'écrire $V (a X + b) = a^{2} V (X) + b$ . C'est faux, le $b$ disparaît.
Vérifie toujours que $\sum p_{i} = 1$ avant de te lancer dans les calculs.

À retenir

Loi : les $x_{i}$ avec leurs $p_{i}$ , et $\sum p_{i} = 1$ .
Espérance : $E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ , c'est la moyenne attendue.
Variance : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$ , toujours $\geq 0$ .
Écart-type : $σ (X) = V (X)$ , dans la même unité que $X$ .
Transformations : $E (a X + b) = a E (X) + b$ et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .
Loi binomiale $B (n, p)$ : $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ .